Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=1x+1

Câu hỏi:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

A. $\int f\left(x\right)dx=2\sqrt{x}–\sqrt{2}\ln \left(1+\sqrt{x}\right)+C$

B. $\int f\left(x\right)dx=2\sqrt{x}–2\ln \left(1+\sqrt{x}\right)+C$

Đáp án chính xác

C. $\int f\left(x\right)dx=\ln \left(1+\sqrt{x}\right)+C$

D. $\int f\left(x\right)dx=2+2\ln \left(1+\sqrt{x}\right)+C$

Trả lời:

Chọn B
Đặt $t=1+\sqrt{x}\Rightarrow x={(t–1)}^2$$\Rightarrow dx=2\left(t–1\right)dt$
Khi đó 
$\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=\int \frac{2(t–1)}{t}dt=2\int \left(1–\frac{1}{t}\right)dt=2(t–\ln \left|t\right|)+C_1=2\left(\sqrt{x}+1–\ln \left|1+\sqrt{x}\right|\right)+C_1=2\sqrt{x}–2\ln \left(1+\sqrt{x}\right)+C$
(Với $C=2+C_1$ và $1+\sqrt{x}>0$)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho f'(x)=3-5sinx và f(0)=10. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $f‘\left(x\right)=3–5\sin x$ và $f\left(0\right)=10$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

   A. $f\left(x\right)=3x+5\cos x+2$

   B. $f\left(\mathrm{\pi }\right)=3\mathrm{\pi }$

   Đáp án chính xác

   C. $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

   D. $f\left(x\right)=3x–5\cos x$

   Trả lời:

   Chọn B
   $f\left(x\right)=\int f‘\left(x\right)dx=3x+5\cos x+C$
   Do $f\left(0\right)=10\iff C=5$
   Vậy $f\left(x\right)=3x+5\cos x+5\Rightarrow f\left(\mathrm{\pi }\right)=3\mathrm{\pi }$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=xcosx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\cos x$

   A. $\int f\left(x\right)dx=x\sin x–\cos x+C$

   B. $\int f\left(x\right)dx=–x\sin x–\cos x+C$

   C. $\int f\left(x\right)dx=x\sin x+\cos x+C$

   Đáp án chính xác

   D. $\int f\left(x\right)dx=–x\sin x+\cos x+C$

   Trả lời:

   Chọn C
   Đặt $u=x, dv=\cos xdx$
   Suy ra $du=dx, v=\sin x$
   Do đó $I=x\sin x–\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x2 biết Fπ2=π4.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm một nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)={\sin }^2\frac{x}{2}$ biết $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

   A. $F\left(x\right)=\frac{x}{–2}+\frac{\sin x}{2}+\frac{1}{2}$

   B. $F\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+\frac{3}{2}$

   C. $F\left(x\right)=\frac{x}{2}–\frac{\sin x}{2}+\frac{1}{2}$

   Đáp án chính xác

   D. $F\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+\frac{5}{2}$

   Trả lời:

   Chọn C
   $F\left(x\right)=\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\int \left(1–\cos x\right)dx=\frac{x}{2}–\frac{1}{2}\sin x+C$
   $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff \frac{\mathrm{\pi }}{4}–\frac{1}{2}\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}+C=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff C=\frac{1}{2}$
   Vậy $F\left(x\right)=\frac{x}{2}–\frac{\sin x}{2}+\frac{1}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Hàm số f(x)=exln2+e-xsin2x có họ nguyên hàm là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $f\left(x\right)=e^x\left(\ln 2+\frac{e^{–x}}{{\sin }^{2}x}\right)$ có họ nguyên hàm là

   A. $F\left(x\right)=e^x\ln 2+2\cos x+C$

   B. $F\left(x\right)=e^x\ln 2–\mathrm{co}t x+C$

   Đáp án chính xác

   C. $F\left(x\right)=e^x\ln 2+\frac{1}{{\cos }^{2}x}+C$

   D. $F\left(x\right)=e^x\ln 2–\frac{1}{{\cos }^{2}x}+C$

   Trả lời:

   Chọn B
   $\int f\left(x\right)dx=\int \left(e^x\ln 2+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx=e^x\ln 2–\mathrm{co}tx+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=x.ex
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x.e^x$

   A. $\int f\left(x\right)dx=2x.e^x–e^x+C$

   B. $\int f\left(x\right)dx=x{e}^x+e^x+C$

   C. $\int f\left(x\right)dx=x.e^x–e^x+C$

   Đáp án chính xác

   D. $\int f\left(x\right)dx=e^x–x.e^x+C$

   Trả lời:

   Chọn C
   $\int f\left(x\right)dx=\int x.e^{x}dx$
   Đặt $u=x\Rightarrow du=dx$ và $dv=e^{x}dx\Rightarrow v=e^x$
   Vậy $\int f\left(x\right)dx=x.e^x–\int e^{x}dx=x.e^x–e^x+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====