Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ – Hình nón – Hình cầu

Bài 38 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Thể tích phần cần tính là tổng thể tích của hai hình trụ có đường kính là \(11cm\) và chiều cao là \(2cm\).

\({V_1} = \pi {R^2}{h_1} = \pi {\left( {{{11} \over 2}} \right)^2}.2 = 60,5\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích hình trụ có đường kính đáy là \(6cm\), chiều cao là \(7cm\)

\({V_2} = \pi {R^2}{h_2} = \pi {\left( {{6 \over 2}} \right)^2}.7 = 63\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích của chi tiết máy cần tính là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 60,5\pi  + 63\pi  = 123,5\pi (c{m^3})\)

Tương tự, theo đề bài diện tích bề mặt của chi tiết máy bằng tổng diện tích xung quanh cua hai chi tiết máy.

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy \(11 cm\) và chiều cao là \(2cm\) là:

\({S_{xq(1)}} = 2\pi R{h_1} = 2\pi {{11} \over 2}.2 = 22\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy là \(6cm\) và chiều cao là \(7cm\) là:

\({S_{xq(2)}} = 2\pi R{h_2} = 2\pi {6 \over 2}.7 = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

\(S = {S_{xq(1)}} + {\rm{ }}{S_{xq(2)}} = 22\pi  + 42\pi  = 64\pi (c{m^2})\)


Bài 39 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Hướng dẫn trả lời:

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Theo đề bài ta có:

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(AB.AD = 2a^2\) (1)

Chu vi hình chữ nhật  là: \(2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a\) (2)

Từ (1) và (2), ta có \(AB\) và \(CD\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0\)

Giải phương trình ta được: \({x_1} = {\rm{ }}2a;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}a\)

Theo giả thiết \(AB > AD\) nên ta chọn \(AB = 2a; AD = a\)

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}\)

Thể tích hình trụ là:

\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}\)


Bài 40 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hướng dẫn trả lời:

– Với hình a:

\({S_{tp}} = {\rm{ }}{S_{xq}} + {\rm{ }}{S_{day}} = {\rm{ }}\pi rl{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi {r^2}\)

\(= {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}2,5{\rm{ }}.{\rm{ }}5,6{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}2,{5^2} = {\rm{ }}63,59{\rm{ }}({m^2})\)

– Với hình b:

\({S_{tp}} = {\rm{ }}{S_{xq}} + {\rm{ }}{S_{day}} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}3,6{\rm{ }}.{\rm{ }}4,8{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}3,{6^2} \)

\(= {\rm{ }}94,95{\rm{ }}({m^2})\)


Bài 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Cho ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, \(OA = a, OB = b\) (\(a,b\) cùng đơn vị: cm).

Qua \(A\) và \(B\) vẽ theo thứ tự các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\) và cùng phía với \(AB\). Qua \(O\) vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \(Ax\) ở \(C\), \(By\) ở \(D\) (xem hình 116).

a) Chứng minh \(AOC\) và \(BDO\) là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \(AC.BD\) không đổi.

b) Tính diện tích hình thang \(ABCD\) khi \(\widehat {COA} = {60^0}\) 

c) Với \(\widehat {COA} = {60^0}\) cho hình vẽ quay xung quanh \(AB\). Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \(AOC\) và \(BOD\) tạo thành

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét hai tam giác vuông \(AOC\) và \(BDO\) ta có: \(\widehat A = \widehat B = {90^0}\)

\(\widehat {AOC} = \widehat {B{\rm{D}}O}\) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc).

Vậy \(∆AOC\) đồng dạng \(∆BDO\)

\( \Rightarrow {{AC} \over {AO}} = {{BO} \over {B{\rm{D}}}}hay{{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}}\) (1)

Vậy \(AC . BD = a . b =\) không đổi.

b) Khi  thì tam giác \(AOC\) trở thành nửa tam giác đều cạnh là \(OC\), chiều cao \(AC\).

\(\Rightarrow OC = 2{\rm{A}}O = 2{\rm{a}} \Leftrightarrow AC = {{OC\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3\)

Thay \(AC = a\sqrt{3}\) vào (1), ta có:

\({{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}} \Rightarrow a\sqrt 3 .B{\rm{D}} = a.b \Rightarrow B{\rm{D}} = {{ab} \over {a\sqrt 3 }} = {{b\sqrt 3 } \over 3}\)

Ta có công thức tính diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\(\eqalign{
& S = {{AC + B{\rm{D}}} \over 2}.AB = {{a\sqrt 3 + {{b\sqrt 3 } \over 3}} \over 2}.\left( {a + b} \right) \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 6}\left( {3{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}}b + {b^2}} \right)\left( {c{m^2}} \right) \cr} \)

c) Theo đề bài ta có:

\(∆AOC\) tạo nên hình nón có bán kính đáy là \(AC = a\sqrt{3}\) và chiều cao là \(AO = a\).

\(∆BOD\) tạo nên hình nón có bán kính đáy là \(B{\rm{D}} = {{b\sqrt 3 } \over 3}\) và chiều cao \(OB = b\)

Ta có: \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{{1 \over 3}\pi .A{C^2}.AO} \over {{1 \over 3}\pi .B{{\rm{D}}^2}.OB}} = {{A{C^2}.AO} \over {B{{\rm{D}}^2}.OB}} = {{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}.a} \over {{{\left( {{{b\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.b}} = {{3{{\rm{a}}^3}} \over {{{{b^3}} \over 3}}} = {{9{{\rm{a}}^3}} \over {{b^3}}}\)

Vậy  \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{9{{\rm{a}}^3}} \over {{b^3}}}\)


Bài 42 trang 130 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hướng dẫn trả lời:

– Hình a:

Thể tích hình trụ có đường kính đáy \(14cm\), đường cao \(5,8cm\)

\({V_1} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}{r^2}h{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{7^2}.{\rm{ }}5,8{\rm{ }} = {\rm{ }}284,2{\rm{ }}\pi {\rm{ }}(c{m^3})\)

Thể tích hình nón có đường kính đáy \(14cm\) và đường cao \(8,1 cm\).

\({V_2} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {.7^2}.8,1 = 132,3\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích hình cần tính là:

\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}{V_1} + {\rm{ }}{V_2} = {\rm{ }}2,84,2\pi {\rm{ }} + {\rm{ }}132,3\pi {\rm{ }} = {\rm{ }}416,5\pi {\rm{ }}(c{m^3})\)

– Hình b)

Thể tích hình nón lớn: \({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}{h_1} = {1 \over 3}\pi {\left( {7,6} \right)^2}.16,4 = 991,47(c{m^3})\)

Thể tích hình nón nhỏ: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {r^2}{h_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {3,8} \right)^2}.8,2 = 123,93(c{m^3})\)

Thể tích hình nón cần tính là: \(V{\rm{ }} = {\rm{ }}{V_1}-{\rm{ }}{V_2} = {\rm{ }}991,47{\rm{ }}-{\rm{ }}123,93{\rm{ }} = {\rm{ }}867,54{\rm{ }}c{m^3}\)


Bài 43 trang 130 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hướng dẫn trả lời:

Hình a.

\(\eqalign{
& V = \pi {\left( {{{12,6} \over 2}} \right)^2}.8,4 + {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {\left( {{{12,6} \over 2}} \right)^3} \cr
& = {1 \over 3}\pi {\left( {6,9} \right)^2}.\left( {8,4 + {{12,6} \over 3}} \right) = 500,094\pi \left( {c{m^3}} \right) \cr} \)

Vậy \(V\)hình a = \(500,094π\) cm3

Hình b.

\(\eqalign{
& V = {1 \over 3}\pi {\left( {6,9} \right)^2}.20 + {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi .{\left( {6,9} \right)^3} \cr
& = {1 \over 3}\pi {\left( {6,9} \right)^2}\left( {20 + 13,8} \right) = 536,406\pi \left( {c{m^3}} \right) \cr} \)

Vậy \(V\)hình b = \(536, 406π\) cm3

Hình c.

\(V = {1 \over 3}\pi {.2^2}.4 + \pi {.2^2}.4 + {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {.2^3}\)

\(= {4.2^2}.\pi \left( {{1 \over 3} + 1 + {1 \over 3}} \right) = {{80\pi } \over 3}\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy \(V\)hình c  = \({{80\pi } \over 3}c{m^3}\)


Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 tập 2

Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và \(GEF\) là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, \(EF\) là dây song song với \(AB\) (h.119). Cho hình đó quay quanh trục \(GO\). Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hướng dẫn trả lời:

a) Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông \(ABCD\) là:

\(V = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2}.BC\) với \(AB \) là đường chéo của hình vuông có cạnh là \(R\) và \(AB = R\sqrt2\) (\(=BC\))

\(\eqalign{
& V = \pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}.R\sqrt 2 \cr
& = \pi .{{2{{\rm{R}}^2}} \over 4}.R\sqrt 2 = {{\pi {{\rm{R}}^3}\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \Rightarrow {V^2} = \left( {{{\pi {R^3}\sqrt 2 } \over 2}2} \right) = {{2{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(1) \cr}\)

Thể tích hình cầu có bán kính \(R\) là: \({V_1} = {4 \over 3}\pi {R^3}\)

Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng \({{EF} \over 2}\) là:

\({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}.GH\)

Với \(EF = R\sqrt3\) (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn \((O;R)\))

và \(GH = {{EF\sqrt 3 } \over 2} = {{R\sqrt {3.} \sqrt 3 } \over 2} = {{3R} \over 2}\)

Thay vào V2, ta có: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.{{3{\rm{R}}} \over 2} = {3 \over 8}\pi {R^3}\)

Ta có: \({V_1}{V_2} = {4 \over 3}\pi {R^3}.{3 \over 8}\pi {R^3} = {{{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(2)\)

So sánh (1) và (2) ta được : \({V^2} = {V_1}.{V_2}\)

b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính \({{AB} \over 2}\) là:

\(\eqalign{
& S = 2\pi \left( {{{AB} \over 2}} \right).BC + 2\pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi .{{R\sqrt 2 } \over 2}R\sqrt 2 + 2\pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi {R^2} + \pi {R^2} = 3\pi {R^2} \cr
& \Rightarrow {S^2} = {\left( {3\pi {R^2}} \right)^2} = 9{\pi ^2}.{R^4}(1) \cr} \)

Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là: \({S_1} = {\rm{ }}4\pi {R^2}\) (2)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

\({S_2} = \pi {{EF} \over 2}.FG + \pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}\)

\(= \pi {{R\sqrt 3 } \over 2}.R\sqrt 3  + \pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{9\pi {R^2}} \over 4}\)

Ta có: \({S_1}{S_2} = 4\pi {R^2}.{{9\pi {R^2}} \over 4} = 9{\pi ^2}{R^4}(2)\)

So sánh (1) và (2) ta có: \({S^2} = {\rm{ }}{S_1}.{\rm{ }}{S_2}\)


Bài 45 trang 131 SGK Toán 9 tập 2

Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ.

Hãy tính:

a)Thể tích hình cầu.

b) Thể tích hình trụ.

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu.

d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là \(r cm\) và chiều cao \(2r cm\).

e) Từ các kết quả a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.

Giải bài tập SGK Chương 4 Ôn tập chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Hướng dẫn trả lời:

a) Thể tích của hình cầu là:

\({V_1} = {4 \over 3}\pi {r^3}(c{m^3})\)

b) Thể tích hình trụ là:

\({V_2} = {\rm{ }}\pi {r^2}.{\rm{ }}2r{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {r^3}(c{m^3})\)

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu là:

\({V_3} = {V_2} – {V_1} = 2\pi {r^3} – {4 \over 3}\pi {r^2} = {2 \over 3}\pi {r^3}(c{m^3})\)

d) Thể tích hình nón là:

\({V_4} = {\pi  \over 3}{r^2}.2{\rm{r}} = {2 \over 3}\pi {r^3}(c{m^3})\)

e) Từ kết quả ở câu a, b,c, d ta có hệ thức: \({V_4} = {\rm{ }}{V_2}-{\rm{ }}{V_1}\) hay “ Thể tích hình nón nội tiếp trong hình trụ bằng hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy”

 

Leave a Reply