Giải bài tập SGK Bài 3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Giải bài tập SGK Bài 3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương.

Bài 17 trang 14 SGK đại số 9

Áp dụng phương pháp khai phương một tích, hãy tính:
a) $\sqrt{0,09 . 64}$              b) $\sqrt{2^4 . (-7)^2}$
c) $\sqrt{12,1 . 360}$            d) $\sqrt{2^2 . 3^4}$
Bài giải:
a) $\sqrt{0,09 . 64}$ = $\sqrt{0,09}$ . $\sqrt{ 64}$ = 0,3 . 8 = 2,4
b) $\sqrt{2^4 . (-7)^2}$ = $\sqrt{2^4}$ . $\sqrt{(-7)^2}$ = $2^2$ . 7 = 28
c) $\sqrt{12,1 . 360}$ = $\sqrt{12,1 . 10 . 36}$ = $\sqrt{121}$ . $\sqrt{36}$ = 11 . 6 = 66
d) $\sqrt{2^2 . 3^4}$ = $\sqrt{2^2}$ . $\sqrt{3^4}$ = 2 . $3^2$ = 18

Bài 18 trang 14 SGK đại số 9

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
a) $\sqrt{7}$ . $\sqrt{63}$               b) $\sqrt{2,5}$ . $\sqrt{30}$ . $\sqrt{48}$

c) $\sqrt{0,4}$ . $\sqrt{6,4}$         d) $\sqrt{2,7}$ . $\sqrt{5}$ . $\sqrt{1,5}$

Bài giải:
a) $\sqrt{7}$ . $\sqrt{63}$ = $\sqrt{7}$ . $\sqrt{9 . 7}$ = 3 .7 = 21

b) $\sqrt{2,5}$ . $\sqrt{30}$ . $\sqrt{48}$ = $\sqrt{2,5}$ . $\sqrt{5 . 6}$ . $\sqrt{8 . 6}$
= $\sqrt{2,5}$ . $\sqrt{5}$ . $\sqrt{2 . 4}$ . $\sqrt{6}$ . $\sqrt{6}$
= $\sqrt{2,5}$ . $\sqrt{5}$ . $\sqrt{2}$ . 2 . 6 = $\sqrt{25}$ . 12 = 5 . 12 = 60
 c) $\sqrt{0,4}$ . $\sqrt{6,4}$ = $\sqrt{0,4}$ . $\sqrt{0,4 . 16}$
= $\sqrt{0,4}$ . $\sqrt{0,4}$ . $\sqrt{16}$ = 0,4 . 4 = 1,6
 d) $\sqrt{2,7}$ . $\sqrt{5}$ . $\sqrt{1,5}$ = $\sqrt{0,3 . 9}$ . $\sqrt{5}$ . $\sqrt{0,3 . 5}$
= 3 . $\sqrt{0,3}$ . $\sqrt{0,3}$ . $\sqrt{5}$ . $\sqrt{5}$ = 3 . 0,3 . 5 = 4,5

Bài 19 trang 15 SGK đại số 9

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\sqrt{0,36a^2}$ với a < 0                       b) $\sqrt{a^4(a – 3)^2}$ với a ≥ 3
c) $\sqrt{27 . 48(1 – a)^2}$ với a > 1        d) $\frac{1}{a – b}$ : $\sqrt{a^4(a – b)^2}$ với a > b.
Bài giải:
a) $\sqrt{0,36a^2}$ = $\sqrt{0,36}$ . $\sqrt{a^2}$ = 0,6.│a│
Vì a < 0 nên │a│= -a. Do đó $\sqrt{0,36a^2}$ = -0,6a.

b) $\sqrt{a^4(a – 3)^2}$ = $\sqrt{a^4}$ . $\sqrt{(a – 3)^2}$ = │$a^2$ │.│3 – a│.
Ta có $a^2$  ≥ 0 nên │$a^2$│= $a^2$  .
a ≥ 3 nên 3 – a ≤ 0, do đó │3 – a│= -(3 – a) = a – 3.
Vậy $\sqrt{a^4(a – 3)^2}$ = $a^2$(a – 3).

c) $\sqrt{27 . 48(1 – a)^2}$ = $\sqrt{27 . 3 . 16(1 – a)^2}$ = $\sqrt{81 . 16(1 – a)^2}$ = $\sqrt{81}$ . $\sqrt{16}$ . $\sqrt{(1 – a)^2}$ = 9. 4 .│1 – a│
Vì a > 1 nên 1 – a < 0. Do đó │1 – a│= -(1 – a) = a -1.
Vậy $\sqrt{27 . 48(1 – a)^2}$ = 36(a – 1).

d) $\frac{1}{a – b}$ : $\sqrt{a^4(a – b)^2}$ = $\frac{1}{a – b}$ : ($\sqrt{a^4}$ . $\sqrt{a^4(a – b)^2}$)
= $\frac{1}{a – b}$ : ($a^2$ . │a – b│)
Vì a > b nên a – b > 0, do đó│a – b│= a – b.
Vậy $\frac{1}{a – b}$ : $\sqrt{a^4(a – b)^2}$ = $\frac{1}{a – b}$ : [($a^2$ . │a – b│)] = $\frac{1}{a^2(a – b)^2}$

Bài 20 trang 15 SGK đại số 9

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\sqrt{\frac{2a}{3}}$ . $\sqrt{\frac{3a}{8}}$ với a ≥ 0               b) $\sqrt{13a}$ . $\sqrt{\frac{52}{a}}$ với a > 0
c) $\sqrt{5a}$ . $\sqrt{45a}$ – 3a với a ≥ 0          d) $(3 – a)^2$ – $\sqrt{0,2}$ . $\sqrt{180a^2}$

Bài giải:
a) $\sqrt{\frac{2a}{3}}$ . $\sqrt{\frac{3a}{8}}$ = $\sqrt{\frac{2 . 3 .a^2}{3 . 8}}$ = $\sqrt{\frac{a^2}{4}}$ = $\frac{│a│}{2}$
Vì a ≥ 0 nên │a│ = a
Vậy $\sqrt{\frac{2a}{3}}$ . $\sqrt{\frac{3a}{8}}$ = $\frac{a}{2}$

b) $\sqrt{13a}$ . $\sqrt{\frac{52}{a}}$ = $\sqrt{\frac{13a . 52}{a}}$
Vì a > 0 nên
$\sqrt{\frac{13a . 52}{a}}$ = $\sqrt{13 . 13 .4}$ = 13 . 2 = 26
Vậy $\sqrt{13a}$ . $\sqrt{\frac{52}{a}}$ = 26
c) $\sqrt{5a}$ . $\sqrt{45a}$ – 3a =  $\sqrt{5a . 45a}$ – 3a = $\sqrt{5 . 5. 9 .a^2}$ – 3a
= 15 $\sqrt{a^2}$ – 3a = 15│a│ – 3a
Vì a ≥ 0 nên │a│ = a, do đó 15│a│ – 3a = 15a – 3a = 12a
Vậy $\sqrt{5a}$ . $\sqrt{45a}$ – 3a = 12a

d) $(3 – a)^2$ – $\sqrt{0,2}$ . $\sqrt{180a^2}$ = 9 – 6a + $a^2$ – $\sqrt{0,2 . 180a^2}$
= 9 – 6a + $a^2$ – $\sqrt{36a^2}$ = 9 – 6a + $a^2$ – 6$\sqrt{a^2}$ = 9 – 6a + $a^2$ – 6│a│
Khi a ≥ 0 thì │a│= a
Nên 9 – 6a + $a^2$ – 6│a│= 9 – 6a + $a^2$ – 6a = $a^2$ – 12a + 9.
Do đó $(3 – a)^2$ – $\sqrt{0,2}$ . $\sqrt{180a^2}$ = $a^2$ – 12a + 9.
Khi a < 0 thì │a│= a
Nên 9 – 6a + $a^2$ – 6│a│ = 9 – 6a + $a^2$ + 6a = $a^2$ + 9
Do đó $(3 – a)^2$ – $\sqrt{0,2}$ . $\sqrt{180a^2}$ = $a^2$ + 9

Bài 21 trang 15 SGK đại số 9

Khai phương tích 12.30.40 được:
A. 1200                     B. 120                          C. 12                   D. 240
Hãy chọn kết quả đúng.

Bài giải:
Ta có: $\sqrt{12 . 30 . 40}$ = $\sqrt{3 . 4 . 3 . 10 . 4 . 10}$ = 3 . 4 . 10 = 120
Vậy chọn phương án B.

Giải bài 22 trang 15 SGK đại số 9 tập 1

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:
a) $\sqrt{13^2 – 12^2}$                    b) $\sqrt{17^2 – 8^2}$
c) $\sqrt{117^2 – 108^2}$                d) $\sqrt{313^2 – 312^2}$
Bài giải: 
a) $\sqrt{13^2 – 12^2}$ = $\sqrt{(13 – 12)(13 + 12)}$
= $\sqrt{1 . 25}$ = 5
b) $\sqrt{17^2 – 8^2}$ = $\sqrt{(17 – 8)(17 + 8)}$
= $\sqrt{9 . 25}$ = 3. 5 = 15
c) $\sqrt{117^2 – 108^2}$ = $\sqrt{(117 – 108)(117 + 108)}$
= $\sqrt{9 . 225}$ = 3 . 15 = 45
d) $\sqrt{313^2 – 312^2}$ = $\sqrt{(313 – 312)(313 + 312)}$
= $\sqrt{1 . 625}$ = 25

Giải bài 23 trang 15 SGK đại số 9 tập 1

Chứng minh:
a) (2 – $\sqrt{3}$)(2 + $\sqrt{3}$) = 1
b) ($\sqrt{2006}$ – $\sqrt{2005}$) và ($\sqrt{2006}$ + $\sqrt{2005}$) là hai số nghịch đảo của nhau.

Bài giải:
a) Ta có: VT = (2 – $\sqrt{3}$)(2 + $\sqrt{3}$) = $2^2$ – $(\sqrt{3})^2$ = 4 – 3 = 1
VP = 1
Vậy (2 – $\sqrt{3}$)(2 + $\sqrt{3}$) = 1
b) Ta đã biết tích của hai số nghịch đảo bằng 1.
Ta có: ($\sqrt{2006}$ – $\sqrt{2005}$).($\sqrt{2006}$ + $\sqrt{2005}$)
= $(\sqrt{2006})^2$ – $(\sqrt{2005})^2$ = 2006 – 2005 = 1
Do đó ($\sqrt{2006}$ – $\sqrt{2005}$) và ($\sqrt{2006}$ + $\sqrt{2005}$) là hai số nghịch đảo của nhau.

Giải bài 24 trang 15 SGK đại số 9 tập 1

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau:
a) $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^2)^2}$    tại x = -$\sqrt{2}$
b) $\sqrt{9a^2(b^2 + 4 – 4b)}$    tại a = -2, b = -$\sqrt{3}$

Bài giải:
a) $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^2)^2}$ = $\sqrt{4}$ . $\sqrt{(1 + 6x + 9x^2)^2}$
= 2(1 + 6x + 9$x^2$
Tại x = -$\sqrt{2}$, giá trị của $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^2)^2}$ là
2(1 + 6(-$\sqrt{2}$) + 9$(-\sqrt{2})^2$
= 2(1 – 6$\sqrt{2}$ + 9 . 2)
= 2(19 – 6$\sqrt{2}$) ≈ 21,03.
b) $\sqrt{9a^2(b^2 + 4 – 4b)}$ = $\sqrt{9a^2(b – 2)^2}$
= $\sqrt{9}$ . $\sqrt{a^2}$ . $\sqrt{(b – 2)^2}$= 3.│a│.│b – 2│.
Tại a = -2 và b = -$\sqrt{3}$, giá trị của biểu thức là
3.│-2│.│-$\sqrt{3}$ – 2│= 3 . 2 .($\sqrt{3}$ + 2) = 6($\sqrt{3}$ + 2) ≈ 22,392.

Giải bài 25 trang 16 SGK đại số 9 tập 1

Tìm x biết:
a) $\sqrt{16x}$ = 8                 b) $\sqrt{4x}$ = $\sqrt{5}$
c) $\sqrt{9(x – 1)}$ = 21          d) $\sqrt{4(1 – x)^2}$ – 6 = 0.
Bài giải:
a) Điều kiện x ≥ 0.
$\sqrt{16x}$ = 8 <=> 16x = 64 <=> x = 4.

b) Điều kiện x ≥ 0.
$\sqrt{4x}$ = $\sqrt{5}$ <=> $(\sqrt{4x})^2$ = $(\sqrt{5})^2$ <=> 4x = 5 <=> x = $\frac{5}{4}$

c) Điều kiện x – 1 ≥ 0 <=> x ≥ 1
$\sqrt{9(x – 1)}$ = 21 <=> 9(x – 1) = 441 <=> x – 1 = 49 <=> x = 50

d) Điều kiện: Vì $(1 – x)^2$ ≥ 0 với mọi giá trị của x nên $\sqrt{4(1 – x)^2}$ có nghĩa với mọi x.
$\sqrt{4(1 – x)^2}$ – 6 = 0 <=> $\sqrt{4}$ . $\sqrt{(1 – x)^2}$ – 6 = 0 <=> 2.│1 – x│= 6 <=>│1 – x│= 3.

Ta có 1 – x ≥ 0 khi x ≤ 1. Do đó:
Khi x ≤ 1 thì │1 – x│ = 1 – x.
Khi x > 1 thì │1 – x│ = -(1 – x) = x – 1.

Để giải phương trình │1 – x│= 3, ta phải xét hai trường hợp:

– Khi x ≤ 1, ta có: 1 – x = 3 <=> x = -2.
Vì -2 < 1 nên x = -2 là một nghiệm của phương trình.

– Khi x > 1, ta có: x – 1 = 3 <=> x = 4.
Vì 4 > 1 nên x = 4 là một nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình d) có hai nghiệm là x = -2 và x = 4.

Giải bài 26 trang 16 SGK đại số 9 tập 1

a) So sánh $\sqrt{25 + 9}$ và $\sqrt{25}$ + $\sqrt{9}$
b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh $\sqrt{a + b}$ < $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$
Bài giải:
a) Ta có: $\sqrt{25 + 9}$ = 5,8
$\sqrt{25}$ + $\sqrt{9}$ = 8
Vậy $\sqrt{25 + 9}$ < $\sqrt{25}$ + $\sqrt{9}$
b) Vì a > 0, b > 0 nên ta có:
$(\sqrt{a + b})^2$ = a + b   (1)
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ = $(\sqrt{a})^2$ + 2$\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$ + $(\sqrt{b})^2$ = a + b + 2$\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$   (2)
Vì a > 0, b > 0 nên $\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$ > 0.
Nghĩa là: a + b < a + b + 2$\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$    (3)
Từ (1) (2) và (3) ta suy ra $\sqrt{a + b}$ < $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$

Giải bài 27 trang 16 SGK đại số 9 tập 1

So sánh:
a) 4 và 2$\sqrt{3}$            b) -$\sqrt{5}$ và -2
Bài giải:
a) Ta có: 4 = $\sqrt{16}$
2$\sqrt{3}$ = $\sqrt{4}$.$\sqrt{3}$ = $\sqrt{12}$
Do đó: 4 > 2$\sqrt{3}$.
b) Ta có: -2 = – $\sqrt{4}$ mà -$\sqrt{4}$ > -$\sqrt{5}$
Nên -2 > -$\sqrt{5}$

 

Leave a Reply