Giải bài tập SGK Bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = | A |$

Giải bài tập SGK Bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = | A |$ –  đại số 9 tập 1.

 

Bài tập 6 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1

Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) \(\sqrt{\frac{a}{3}}\);         b) \(\sqrt{-5a}\);       c) \(\sqrt{4 – a}\);     d) \(\sqrt{3a + 7}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Để căn thức có nghĩa, trước tiên là trong căn phải không âm, và nếu biểu thức trong căn có mẫu thức, ta cần đặt điều kiện cho mẫu số khác 0. Bài 6 được trình bày như sau:

Câu a:

Giải bài tập SGK Bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức  $\sqrt{A^2} = | A |$ có nghĩa khi và chỉ khi  \(\frac{a}{3}\geq 0\Leftrightarrow a\geq 0\)

Câu b:

\(\sqrt{-5a}\)​ có nghĩa khi và chỉ khi \(-5a\geq 0\Leftrightarrow a\leq \frac{0}{-5}\Leftrightarrow a\leq 0\)

Câu c:

\(\sqrt{4-a}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(4-a\geq 0\Leftrightarrow a\leq 4\)

Câu d:

\(\sqrt{3a + 7}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(3a+7\geq 0\Leftrightarrow a\geq \frac{-7}{3}\)

Bài tập 7 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1

Tính:

\(a) \ \ \sqrt{(0,1)^2} \ \ \ b) \ \sqrt{(-0,3)^2}\)

\(c) \ \ – \sqrt{(-1,3)^2} \ \ \ d) \ -0,4 \sqrt{(-0,4)^2}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=|A|\) để giải quyết bài toán 7 này.

Câu a:

\(\sqrt{(0,1)^2} =\left | 0,1 \right |=0,1\)

Câu b:

\(\sqrt{(-0,3)^2}=\left | -0,3 \right |=0,3\)

Câu c:

\(- \sqrt{(-1,3)^2} =-\left | -1,3 \right | =-1,3\)

Câu d:

\(\ -0,4 \sqrt{(-0,4)^2}=-0,4.\left | 0,4 \right |=-0,4.0,4=-0,16\)

 

Bài tập 8 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}\) ;                 b) \(\sqrt{(3 – \sqrt{11})^{2}}\)

c) \(2\sqrt{a^2}\)  với a ≥ 0;               d) \(3\sqrt{(a – 2)^{2}}\) với \(a<2\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 8

Đề giải quyết bài toán về rút gon biểu thức chứa căn, ta chỉ cần lưu ý một điều rất quan trọng đó là \(\sqrt{{A}^2}=|A|\). Áp dụng điều đó để làm bài 8

Câu a:

\(\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}\) vì \(2>\sqrt{3}\)

Câu b:

\(\sqrt{(3 – \sqrt{11})^{2}}=|3-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-3\) vì \(\sqrt{11}>3\)

Câu c:

\(2\sqrt{a^2}=2|a|=2a\) (vì a không âm, đưa ra khỏi dấu trị tuyệt đối sẽ không đổi dấu)

Câu d:

\(3\sqrt{(a – 2)^{2}}=3|a-2|\)

Vì \(a<2\Rightarrow a-2<0\Rightarrow |a-2|=2-a\)

Vậy: \(3\sqrt{(a – 2)^{2}}=3(2-a)=6-3a\)

Bài tập 9 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1

Tìm x biết:

a) \(\sqrt{x^{2}} = 7\) ;                 b) \(\sqrt{x^{2}} = \left | -8 \right |\);

c) \(\sqrt{4x^{2}} = 6\);                d) \(\sqrt{9x^{2}}=\left | -12 \right |\);

Hướng dẫn giải chi tiết bài 9

Đề giải quyết bài toán về rút gon biểu thức chứa căn, ta chỉ cần lưu ý một điều rất quan trọng đó là \(\sqrt{{A}^2}=|A|\), sau đó có thể bình phương hai vế không âm rồi tìm ra được x. Bài 9 được làm như sau:

Câu a:

Ta có:

\(\sqrt{x^{2}}=7\Leftrightarrow x^2=49\Leftrightarrow x=\pm 7\)

Câu b:

\(\sqrt{x^{2}} = \left | -8 \right |=8\Leftrightarrow x^2=64\Leftrightarrow x=\pm 8\)

Câu c:

\(\sqrt{4x^{2}} = 6\Leftrightarrow 4x^2=36\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm 3\)

Câu d:

\(\sqrt{9x^{2}}=\left | -12 \right |=12\Leftrightarrow 9x^2=144\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm 4\)

Bài tập 10 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1

Chứng minh

a) \((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 – 2\sqrt{3}\) ;            b) \(\sqrt{4 – 2\sqrt{3}}- \sqrt{3} = -1\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 10

Để chứng minh một biểu thức đại số bằng với một biểu thức đại số, ta sẽ biến đổi vế phải thành vế trái hoặc ngược lại. Cụ thể ở bài 10 này như sau:

Câu a:

\((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 – 2\sqrt{3}\)

Khai triển vế trái, ta được:

\((\sqrt{3}- 1)^{2}= (\sqrt{3})^2-2.\sqrt{3}.1+1^2=4-2\sqrt{3}=VP\)

Câu b:

Áp dụng kết quả nhận được từ câu a, ta chuyển vế thành:

\(\sqrt{4 – 2\sqrt{3}}= -1+\sqrt{3}\) ta vẫn sẽ có điều phải chứng minh. Tuy nhiên, các bạn có thể làm theo cách phân tích ngược lại như sau:

\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-2.1.\sqrt{3}+1^2}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}\)

\(=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1\) và ta có (đpcm).

Bài tập 11 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1

Tính:

a) \(\sqrt{16}.\sqrt{25} + \sqrt{196}:\sqrt{49}\);

b) \(36:\sqrt{2.3^2.18}-\sqrt{169}\);

c) \(\sqrt{\sqrt{81}}\);

d) \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 11

Bài toán tính giá trị biểu thức chúng ta thực hiện trong căn bậc hai rồi nhân chia trước cộng trừ sau, nhóm các giá trị có thể triệt tiêu nhau hoặc dễ tính toán để giải quyết bài toán số 11 này:

Câu a:

\(\sqrt{16}.\sqrt{25} + \sqrt{196}:\sqrt{49}=4.5+\frac{14}{7}=22\)

Câu b:

\(36:\sqrt{2.3^2.18}-\sqrt{169}\)\(=\frac{36}{\sqrt{2.3^2.3^2.2}}-\sqrt{13}=\frac{36}{18}-13=-11\)

Câu c:

\(\sqrt{\sqrt{81}}\)\(\sqrt{\sqrt{9^2}}=\sqrt{|9|}=\sqrt{9}=3\)

Câu d:

\(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

Bài tập 12 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)\(\sqrt{2x + 7}\);                         c)  \(\sqrt{\frac{1}{-1 + x}}\)

b) \(\sqrt{-3x + 4}\)                      d) \(\sqrt{1 + x^{2}}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 12

Điều kiện để căn thức có nghĩa đó là biểu thức trong căn không âm, và nếu biểu thức ấy là một phân số thì giá trị mẫu số khác 0 để làm phân số đó tồn tại.

Cụ thể bài 12 như sau:

Câu a:

\(\sqrt{2x + 7}\) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(2x + 7\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{-7}{2}\)

Câu b:

\(\sqrt{-3x + 4}\) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(-3x + 4\geq 0\Leftrightarrow 3x\leq 4\Leftrightarrow x\leq \frac{4}{3}\)

Câu c:

\(\sqrt{\frac{1}{-1 + x}}\) có nghĩa khi và chỉ khi

\(\frac{1}{-1 + x}\geq 0\) mà \(1>0\)\(\Rightarrow \frac{1}{-1+x}>0\) tức là \(-1+x>0\Leftrightarrow x>1\)

Câu d:

\(\sqrt{1 + x^{2}}\)

Vì \(x^2\geq 0\) với mọi số thực x nên \(1+x^2\geq 1>0\). Vậy căn thức trên luôn có nghĩa.

 

Bài tập 13 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a)  \(2\sqrt{a^2}-5a\) với  \(a<0\)             c) \(\sqrt{25a^{2}} + 3a\) với\(a\geq 0\)

b) \(\sqrt{9a^{4}}+3a^2\) ,            d) \(5\sqrt{4a^{6}} – 3a^3\) với a < 0

Hướng dẫn giải chi tiết bài 13

Để rút gọn biểu thức trên của bài 14, ta cần xem xét kĩ lưỡng giá trị của biến là âm hay dương để đưa ra khỏi giá trị tuyệt đối một cách đúng nhất.

Câu a:

\(2\sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a\)

Vì \(a<0 \rightarrow |a|=-a\)

Nên \(2|a|-5a=-2a-5a=-7a\)

Câu b:

\(\sqrt{9a^{4}}+3a^2=3|a^2|+3a^2=6a^2\)

Vì \(a^2\geq 0\forall a\epsilon \mathbb{R}\Leftrightarrow |a^2|=a^2\)

Câu c:

\(\sqrt{25a^{2}} + 3a=5|a|+3a=5a+3a=8a\)

Vì \(a\geq 0\Rightarrow |a|=a\)

Câu d:

\(5\sqrt{4a^{6}} – 3a^3=5.2.|a^3|-3a^3=10.(-a)^3-3a^3=-13a^3\)

Vì \(a<0\) nên \(|a^3|=-a^3\)

 

Bài tập 14 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1

Phân tích thành nhân tử:

a) \(x^{2} – 3\).                         b) \(x^{2}- 6\) ;

c) \(x^2+2\sqrt{3}x + 3\);         d) \(x^2-2\sqrt{5}x+5\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 14

Ta biến đổi phép tính các tổng thành các tổng khác có thừa số chung rồi nhóm thích hợp biến thành dạng tích, ở bài toán này, ta chú ý \(a\geq 0\Rightarrow a=\sqrt{a^2}\)

Câu a:

\(x^{2} – 3=x^2-(\sqrt{3})^2=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\)

Câu b:

\(x^{2}- 6=x^2-(\sqrt{6})^2=(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})\)

Câu c:

\(x^2+2\sqrt{3}x + 3=x^2+2.\sqrt{3}.x+(\sqrt{3})^2=(x+\sqrt{3})^2\)

Câu d:

\(x^2-2\sqrt{5}x+5=x^2-2.\sqrt{5}.x+(\sqrt{5})^2=(x-\sqrt{5})^2\)

 

Bài tập 15 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1

Giải các phương trình sau:

a) \(x^{2} – 5 = 0\);              b) \(x^{2}-2\sqrt{11}x+11=0\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 15

Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở bài 14 trên, ta sẽ giải quyết được bài toán sau bằng việc đưa về phương trình tích AB=0 thì A bằng 0 hoặc B bằng 0 vào bài 15 này

Câu a:

\(x^{2} – 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0\)

\(x-\sqrt{5}=0\) hoặc \(x+\sqrt{5}=0\)

Vậy \(x=\pm \sqrt{5}\)

Câu b:

\(x^{2}-2\sqrt{11}x+11=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2.\sqrt{11}.x+(\sqrt{11})^2=0\)

\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{11})^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{11}\)

 

Bài tập 16 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1

Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.

Giải bài tập SGK Bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức  $\sqrt{A^2} = | A |$

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có

\(m^{2} + V^{2} = V^{2} + m^{2}\).

Cộng hai về với -2mV. Ta có

 – 2mV +  =  – 2mV + 

hay                  \((m – V)^{2} = (V – m)^{2}\).

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

\(\sqrt{(m – V)^{2}} = \sqrt{(V – m)^{2}}\)

Do đó                m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 16

Với mô tả của bài toán, người giải đã nhầm lẫn một điều rất quan trọng ở bài 16 này đó là:

Với hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì bình phương của chúng cũng bằng nhau!

Cụ thể là: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(b-a)^2\)

Với bài toán trên, ta chỉ có thể kết luận rằng \(|m-V|=|V-m|\) chứ không thể kết luật \(m=V\) được!

 

 

Leave a Reply