Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

1. Định lí

Với số a không âm và số b dương, ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

2. Áp dụng

1. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương \(\frac{a}{b}\), trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai căn của số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

2. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Thực hiện phép tính các giá trị sau:

\(\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}\) ; \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}\)

Hướng dẫn: Ta có: \(\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}=\sqrt{\frac{52}{117}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\)

Tương tự, ta có \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\)

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

\(5xy.\sqrt{\frac{25x^2}{y^6}}\) với \(x> 0; y\neq 0\) ;  \(0,2x^3y^3\sqrt{\frac{16}{x^4y^8}}\) với \(x\neq 0;y\neq 0\)

Hướng dẫn: \(5xy.\sqrt{\frac{25x^2}{y^6}}=5xy.\frac{5|x|}{y^3}=\frac{25x^2y}{y^3}=\frac{25x^2}{y^2}\)

Tương tự, ta có: \(0,2x^3y^3\sqrt{\frac{16}{x^4y^8}}=\frac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}=\frac{0,8x}{y}\)

Bài 3: Giải phương trình:

\(\sqrt{2}x-\sqrt{50}=0\) ; \(\frac{x^2}{5}-\sqrt{20}=0\)

Hướng dẫn: \(\sqrt{2}x-\sqrt{50}=0\Leftrightarrow \sqrt{2}x=\sqrt{50}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=5\)

Tương tự, ta có: \(\frac{x^2}{5}-\sqrt{20}=0\Leftrightarrow \frac{x^2}{5}=\sqrt{20}\Leftrightarrow x^2=5\sqrt{20}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\sqrt{500}}\)

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

\(\sqrt{\frac{27(a-3)^2}{48}}\) với \(a>3\) ;   \((a-b).\sqrt{\frac{ab}{(a-b)^2}}\) với \(a<b<0\)

Hướng dẫn: \(\sqrt{\frac{27(a-3)^2}{48}}=\sqrt{\frac{9}{16}}|a-3|=\frac{3}{4}(a-3)\) (vì \(a>3\) nên \(a-3>0\))

\((a-b).\sqrt{\frac{ab}{(a-b)^2}}=(a-b)\frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}=(a-b)\frac{\sqrt{ab}}{b-a}=-\sqrt{ab}\) (vì \(a<b<0\) nên \(a-b<0\))

Bài 2: Giải phương trình: \(\sqrt{x^2-8x+32}=4\)

Hướng dẫn: Cách 1 các bạn có thể bình phương hai vế rồi giải phương trình bậc hai bình thường
Cách 2: Ta thấy rằng \(x^2-8x+32=x^2-8x+16+16=(x-4)^2+16\geq 16\)
nên \(\sqrt{x^2-8x+32}\geq \sqrt{16}=4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x^2-8x+16=0\Leftrightarrow x=4\)

Leave a Reply