Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=|A|\)

Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=|A|\)

Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=|A|\) – Đại số 9 tập 1

 

1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt{A}\) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn, hay biểu thức dưới dấu căn.
\(\sqrt{A}\) xác định (hay có nghĩa) khi A có giá trị không âm

2. Hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=|A|\)

Định lý: Với mọi số thực a, ta có \(\sqrt{a^2}=|a|\)

Lưu ý: Một cách tổng quát, với A là một biểu thức, ta có \(\sqrt{A^2}=|A|\), có nghĩa là
\(\sqrt{A^2}=A\) nếu A không âm
\(\sqrt{A^2}=-A\) nếu A âm.

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có nghĩa:
\(\sqrt{\frac{a}{4}}\) ; \(\sqrt{4a-9}\)

Hướng dẫn: Để biểu thức \(\sqrt{\frac{a}{4}}\)có nghĩa thì \(\frac{a}{4}\geq 0\) \(\Leftrightarrow a\geq 0\)

Tương tự, \(\sqrt{4a-9}\) có nghĩa thì \(4a-9> 0\Leftrightarrow a\geq \frac{9}{4}\)

Bài 2: Rút gọn biểu thức:
\(\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}\) ; \(3\sqrt{(a-2)^2}\) với \(a<2\)

Hướng dẫn: Ta có \(\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}=|3-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-3\) vì \(\sqrt{11}>3\)

Tương tự \(\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a\) vì \(a<2\), vậy \(3\sqrt{(a-2)^2}=6-3a\)

Bài 3: Tìm x biết:
\(\sqrt{x^2}=|-7|\); \(\sqrt{9x^2}=|-12|\)

Hướng dẫn: \(\sqrt{x^2}=|-7|=7\Leftrightarrow x^2=49\Leftrightarrow x=\pm 7\)

Tương tự \(\sqrt{9x^2}=|-12|=12\Leftrightarrow 9x^2=144\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm 4\)

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Giải phương trình: \(x^2-2\sqrt{11}x+11=0\)

Hướng dẫn: \(x^2-2\sqrt{11}x+11=0\)\(\Leftrightarrow x^2-2.x.\sqrt{11}+(\sqrt{11})^2=(x-\sqrt{11})^2=0\)
Vậy \(x=\sqrt{11}\)

Bài 2: Chứng minh rằng: \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1\)
Hướng dẫn: Nhận thấy \(4-2\sqrt{3}=1^2-2.1.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(1-\sqrt{3})^2\)
Vậy \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\) (vì \(\sqrt{3}>1\))
Biến đổi vế trái, ta có \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1=VP\Rightarrow dpcm\)

Leave a Reply