Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm – hình học 8

Giải bài 50 trang 95 sgk hình học 8 tập 1

Vẽ điểm A’ đối xứng với A qua B, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua B (h.81)
Bài giải:

Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm - hình học 8
A’ đối xứng với A qua B

Kéo dài AB về phía B, chọn điểm B’ sao cho A là trung điểm của AA’
Kéo dài CB về phía B, chọn điểm C’ sao cho B là trung điểm CC’
Ta được điểm A’, C’ như hình vẽ.

Giải bài 51 trang 96 sgk hình học 8 tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm H có tọa độ (3 ; 2). Hãy vẽ điểm K đối xứng với H qua gốc tọa độ và tìm tọa độ của điểm K.
Bài giải:

Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm - hình học 8
K đối xứng với H qua O

Trên mặt phẳng tọa độ xOy, xác định điểm H có tọa độ (3 ; 2). Như vậy ta đã có hai điểm O và H. Để vẽ điểm K đối xứng với điểm H qua gốc tọa độ, ta vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm O và H, rồi lấy điểm K thuộc OH sao cho O là trung điểm của đoạn KH.
Khi đó điểm K có tọa độ (-3 ; -2).

Giải bài 52 trang 96 sgk hình học 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với điểm D qua A, gọi F là điểm đối xứng với điểm D qua C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.
Bài giải:
Trước hết, ta phân tích một chút: để chứng minh điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B, ta chứng minh B là trung điểm của đoạn EF, tức chứng minh EB = BF. Sau đó, ta chứng minh ba điểm E, B, F thẳng hàng. Như vậy là xong. Vấn đề là, cách trình bày như thế nào, các bạn cùng theo dõi nhé!

Ta có:
$\left.\begin{matrix} AB // CD\, và\, AB = CD\, (vì \,ABCD\, là\, hình\, bình\, hành) \\ CD = CF\, (vì \,F\, đối\, xứng\, với\, D\, qua\, C)\end{matrix}\right\}$ => AB // CF và AB = CF

Nên ABFC là hình bình hành => $\left\{\begin{matrix}AC // BF \\ AC = BF \end{matrix}\right.$ (1)

Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm - hình học 8
E đối xứng với D qua A

Tương tự ta có:
$\left.\begin{matrix} BC // AD\, và\, BC = AD\, (vì \,ABCD\, là\, hình\, bình\, hành) \\ AD = AE\, (vì \,E\, đối\, xứng\, với\, D\, qua\, A)\end{matrix}\right\}$ => AE // BC và AE = BC

Nên AEBC là hình bình hành => $\left\{\begin{matrix}AC // EB \\ AC = EB \end{matrix}\right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BF = EB (3)
Mặt khác ta có:
$\widehat{B_1}$ = $\widehat{F_1}$
$\widehat{B_2}$ = $\widehat{C_1}$ (so le trong)
$\widehat{B_3}$ = $\widehat{B_3}$
Cộng vế theo vế, ta được:
$\widehat{B_1}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{B_3}$ = $\widehat{F_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{B_3}$
Mà $\widehat{F_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{B_3}$ = $180^0$ (tổng ba góc của một tam giác)
Nên $\widehat{B_1}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{B_3}$ = $180^0$. Nghĩa là ba điểm F, B, E thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) suy ra điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B (đpcm)
# Đây chỉ là một trong rất nhiều cách chứng minh bài toán trên, các bạn có thể chia sẻ cách chứng minh của mình để cùng trao đổi học hỏi nhé!

Giải bài 53 trang 96 sgk hình học 8 tập 1

Cho hình 82, trong đó MD // AB và ME // AC. Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm M qua điểm I.
Bài giải:

Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm - hình học 8
Chứng minh A đối xứng với M qua I

Ta có:
$\left.\begin{matrix} MD // AD\\ ME // AC\end{matrix}\right\}$ => tứ giác AEMD là hình bình hành
Khi đó hai đường chéo ED và MA cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của ED (gt)
Nên I cũng là trung điểm của MA
Do đó điểm A đối xứng với điểm M qua điểm I.

 

__________________

Giải bài 54 trang 96 sgk hình học 8 tập 1

Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, gọi C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O.
Bài giải:

Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm - hình học 8
B đối xứng với C qua O?

Như thường lệ, ta sẽ phân tích một chút: Theo định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm, để chứng minh điểm B đối xứng với điểm C qua O, ta sẽ chứng minh O là trung điểm của đoạn BC. Theo đó, ta sẽ chứng minh OB = OC và nếu ba điểm O, B, C cùng nằm trên một đường thẳng thì có thể khẳng định O là trung điểm của BC. Phân tích thì đơn giản, bắt đầu từ đâu mới khó. Các bạn theo dõi xem như thế này có ổn không nhé!
Ta có:
Ox là đường trung trực của AB ( B là điểm đối xứng với A qua Ox)
Nên OA = OB (1)
Oy là đường trung trực của AC ( C là điểm đối xứng với A qua Oy)
Nên OA = OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OB = OC (*)
Tam giác AOB cân tại O có đường trung trực Ox vừa là phân giác nên:
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ = $\frac{\widehat{AOB}}{2}$ => $\widehat{AOB}$ = 2$\widehat{O_2}$
Tam giác AOC cân tại O có đường trung trực Oy vừa là phân giác nên:
$\widehat{O_3}$ = $\widehat{O_4}$ = $\frac{\widehat{AOC}}{2}$ => $\widehat{AOC}$ = 2$\widehat{O_3}$
Khi đó $\widehat{AOB}$ + $\widehat{AOC}$ = 2$\widehat{O_2}$ + 2$\widehat{O_3}$ = 2($\widehat{O_2}$ + $\widehat{O_3}$)
Mà $\widehat{O_2}$ + $\widehat{O_3}$ = $\widehat{xOy}$ = $90^0$
Nên $\widehat{AOB}$ + $\widehat{AOC}$ = 2.$90^0$ = $180^0$
Do đó B, O, C thẳng hàng (**)
Từ  (*) và  (**) suy ra B đối xứng với C qua O (đpcm)

Giải bài 55 trang 96 sgk hình học 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua O.
Bài giải:

Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm - hình học 8
M đối xứng với N qua O?

Xét hai tam giác AMO và CNO có:
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ (hai góc đối đỉnh)
OA = OC (tính chất hai đường chéo hình bình hành)
$\widehat{A_1}$ = $\widehat{C_2}$ (hai góc so le trong)
Nên $\Delta$ AMO = $\Delta$ CNO (g-c-g)
Suy ra OM = ON
Khi đó O là trung điểm của MN nên M đối xứng với N qua O. (đpcm)

Giải bài 56 trang 96 sgk hình học 8 tập 1

Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng?
a) Đoạn thẳng AB (h. 83a)
b) Tam giác đều ABC (h. 83b)
c) Biển cấm đi ngược chiều (h. 83c)
d) Biển chỉ hướng đi vòng tránh chướng ngại vật (h. 83d)
Bài giải:

Giải bài tập Bài 8: Đối xứng tâm - hình học 8
Hình nào có tâm đôi xứng?

Với những hiểu biết về tâm đối xứng, khi quan sát hình 83, ta dễ dàng nhận thấy hình 83a và 83c có tâm đối xứng. Thật vậy:
– Hình 83a có tâm đối xứng là trung điểm của đoạn AB
– Hình 83c có tâm đối xứng là tâm của đường tròn.

Giải bài 57 trang 96 sgk hình học 8 tập 1

Các câu sau đúng hay sai?
a) Tâm đối xứng của một đường thẳng là điểm bất kỳ của đường thẳng đó.
b) Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó.
c) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì có chu vi bằng nhau.
Bài giải:
a) Giả sử ta có đường thẳng xy, lấy điểm O trên đường thẳng xy. Điểm O chia đường thẳng xy thành hai tia Ox và Oy. Giờ ta lấy điểm A thuộc tia Ox. Khi đó luôn có một điểm A’ thuộc tia Ay đối xứng với A qua O. Do đó nếu nói tâm đối xứng của một đường thẳng là điểm bất kỳ của đường thẳng đó là hoàn toàn đúng.
b) Nhận định trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó là sai. Chẳng hạn, ta lấy điểm đối xứng với đỉnh A của tam giác ABC qua trọng tâm của tam giác thì điểm đối xứng đó không nằm trên tam giác ABC.
c) Ta biết hai tam giác đối xứng nhau qua một điểm thì bằng nhau. Mà hai tam giác bằng nhau sẽ có chu vi bằng nhau. Do đó khẳng định hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì có chu vị bằng nhau là chính xác.

Leave a Reply