Giải bài tập Bài 12: Hình vuông – hình học 8

Giải bài tập 79 trang 108 sgk hình học 8 tập 1.

a) Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông đó bằng: 6cm, $\sqrt{18}$cm, 5cm, hay 4cm?
b) Đường chéo của một hình vuông bằng 2dm. Cạnh của hình vuông đó bằng: 1dm, $\frac{3}{2}$dm, $\sqrt{2}$dm hay $\frac{4}{3}$dm?
Bài giải:

Giải bài tập Bài 12: Hình vuông - hình học 8
Hình vuông cạnh 3cm.


a) Áp dụng định lí Pi-ta-go trong hình vuông ABC, ta có:
$AC^2$ = $AB^2$ + $BC^2$ = $3^2$ + $3^2$ = 18
=> AC = $\sqrt{18}$
Vậy đường chéo của hình vuông bằng $\sqrt{18}$cm.
b) Tương tự, cũng áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, nhưng bài này cho độ dài đường chéo, tức AC = 2dm, tính cạnh AB.
Ta có: $AC^2$ = $AB^2$ + $BC^2$ = 2$AB^2$ (vì AB = BC)
=> $AB^2$ = $\frac{AC^2}{2}$ = $\frac{2^2}{2}$ = 2
=> AB = $\sqrt{2}$
Vậy cạnh hình vuông bằng $\sqrt{2}$dm.

Giải bài tập 80 trang 108 sgk hình học 8 tập 1.

Hãy chỉ rõ tâm đối xứng của hình vuông, các trục đối xứng của hình vuông.
Bài giải:
– Tâm đối xứng của hình vuông chính là giao điểm hai đường chéo (vì hình thoi là hình bình hành đặc biệt mà hình vuông cũng là một trường hợp đặc biệt của hình thoi)
– Hình vuông là hình thoi, cũng là hình chữ nhật nên hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối là trục đối xứng của hình vuông.

Giải bài tập 81 trang 108 sgk hình học 8 tập 1.

Cho hình 106. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
Bài giải:

Giải bài tập Bài 12: Hình vuông - hình học 8
Hình 106

Tứ giác AEDF có $\widehat{A}$ = $\widehat{E}$ = $\widehat{F}$ = $90^0$ nên AEDF là hình chữ nhật.
Mặt khác $\widehat{EAD}$ = $\widehat{DAF}$ = $45^0$
Suy ra AD là đường phân giác của góc A.
Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên AEDF là hình vuông.

Giải bài tập 82 trang 108 sgk hình học 8 tập 1.

Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.
Bài giải:

Giải bài tập Bài 12: Hình vuông - hình học 8
Hình 107.

Xét $\Delta$ AEH, $\Delta$ BFE, $\Delta$ CGF, $\Delta$ DHG có:
AE = BF = CG = DH (gt) (1)
$\widehat{A}$ = $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ = $\widehat{D}$ = $90^0$ (vì ABCD là hình vuông) (2)
Mặt khác ta có:
AH = AD – DH
BE = AB – AE
CF = CB – BF
DG = DC – GC
Mà AB = BC = CD = AD (vì ABCD là hình vuông)
Nên AH = BE = CF = DG (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\Delta$ AEH = $\Delta$ BFE = $\Delta$ CGF = $\Delta$ DHG (c-g-c)
Suy ra HE = FE = FG = GH (cạnh tương ứng)
Do đó EFGH là hình thoi. (*)
Ta lại có: $\widehat{H_3}$ = $\widehat{E_3}$ (vì $\Delta$ AEH = $\Delta$ BFE)
Mà $\widehat{H_3}$ + $\widehat{E_1}$ = $90^0$ (hai góc phụ nhau)
Hay $\widehat{E_3}$ + $\widehat{E_1}$ = $90^0$
Suy ra $\widehat{E_2}$ = $90^0$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra EFGH là hình vuông (theo dấu hiệu 4)

_______ Luyện tập ———–

Giải bài 83 trang 109 sgk hình học 8 tập 1.

Các câu sau đúng hay sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
b) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
c) Hình thoi là tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau.
d) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
e) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Bài giải:
Dựa vào dấu hiệu nhận biết, ta nhận thấy:
a) Khẳng định này chưa đúng, hình bình hành có hai đường chéo vuông góc mới là hình thoi, còn tứ giác thì chưa đủ.
b) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành rồi. Mà hình bình hành đó lại có hai đường chéo vuông góc nhau, chẳng phải đó là hình thoi sao. Vậy khẳng định b) là đúng.
c) Khẳng định này chắc chắn là đúng rồi, hình thoi được định nghĩa như vậy mà.
d) Câu này sai, không có cơ sở nào để khẳng định điều đó.
e) Khẳng định này đúng, đó chính là dấu hiệu thứ hai để nhận biết hình vuông.

Giải bài 84 trang 109 sgk hình học 8 tập 1.

Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi.
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì. Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông?
Bài giải:

Giải bài tập Bài 12: Hình vuông - hình học 8
Tứ giác AEDF là hình gì?


a) Ta có $\left.\begin{matrix} DE // AB (gt)\\ DF // AC (gt) \end{matrix}\right\}$ => Tứ giác AEDF là hình bình hành.
b) Theo dấu hiệu nhận biết thì hình bình hành AEDF là hình thoi khi đường chéo AD là phân giác $\widehat{BAC}$. Khi đó D sẽ là giao điểm của phân giác $\widehat{BAC}$ với cạnh BC của tam giác ABC.
c) Ta có:
AEDF là hình bình hành (cmt)
$\widehat{A}$ = $90^0$ (tam giác ABC vuông tại A)
Suy ra AEDF là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông. Nên để hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì D phải là giao điểm của đường phân giác góc A với cạnh huyền BC của tam giác ABC.

Giải bài 85 trang 109 sgk hình học 8 tập 1.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
Bài giải:

Giải bài tập Bài 12: Hình vuông - hình học 8
Tứ giác EMFN là hình gì?


a) Ta có: $\left.\begin{matrix} AE = EB (gt)\\ DF = FC \\ AB = DC \end{matrix}\right\}$ => AE = DF
Mặt khác ta có AE // DF (vì AB // DC)
Suy ra tứ giác ADFE là hình bình hành.
Mà $\widehat{A}$ = $90^0$ (vì ABCD là hình chữ nhật)
Hình bình hành ADFE có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
Ta lại có AE = AD
Suy ra ADFE là hình vuông.
b) Ta có $\left.\begin{matrix} BE // DF\\ BE = DF \end{matrix}\right\}$ => Tứ giác EBFD là hình bình hành.
Suy ra DE // FB hay ME // FN (1)
Tương tự, ta có $\left.\begin{matrix} AE // CF\\ AE = CF \end{matrix}\right\}$ => Tứ giác AECF là hình bình hành.
Suy ra AF // EC hay MF // EN (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành.
Mà $\widehat{EMF}$ = $90^0$ (vì ADFE là hình vuông cmt)
Nên EMFN là hình chữ nhật.
Ta cũng có ME = MF (vì cmt ADFE là hình vuông)
Suy ra EMFN là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau).

Giải bài 86 trang 109 sgk hình học 8 tập 1.

Đố. Lấy một tờ giấy gấp làm tư rồi cắt chéo theo nhát cắt AB (h.108). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác nhận được là hình gì? Vì sao?
Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì?
Bài giải:

Giải bài tập Bài 12: Hình vuông - hình học 8
Tứ giác nhận được là hình gì?


Tứ giác nhận được có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
Nếu OA = OB, khi đó hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật. Dĩ nhiên hình chữ nhật đó có hai đường chéo vuông góc nên cuối cùng ta có một hình vuông.

Leave a Reply