Bài 6: Đối xứng trục – Hình học 8

Tóm tắt lý thuyết

1. Hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng

Định nghĩa: Hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

A và B đối xứng qua d \( \Leftrightarrow \) d là trung trực của AB

Nếu điểm \(M \in d\) thì điểm đối xứng với M qua d cũng chính là điểm M.

Bài 6: Đối xứng trục - Hình học 8

2. Hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng.

a. Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.

b. Tính chất:

Định lý: Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ có các điểm A và A’, B và B’ đối xứng nhau qua đường thẳng d thì hai đoạn thẳng đó bằng nhau và đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

c. Chú ý: Ta có

Hình đối xứng qua một đường thẳng d của:

– Một đường thẳng là một đường thẳng

– Một đoạn thẳng là một đoạn thẳng

– Một góc là một góc bằng nó

– Một tam giác là một tam giác bằng nó.

– Một đường tròn là một đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.

3. Trục đối xứng của một hình

a. Định nghĩa: Đường  thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng của mỗi điểm của mỗi hình F qua đường thẳng d cũng thuộc hình F.

b. Một số trục đối xứng quen thuộc

– Một đoạn thẳng có trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

– Một góc có trục đối xứng là tia phân giác của góc.

– Hai đường thẳng giao nhau có trục đối xứng là hai đường thẳng chứa các phân giác của các góc do hai đường thẳng tạo nên; hai trục đối xứng này vuông góc với nhau.

– Tam giác cân có một trục đối xứng là đường cao cũng là phân giác, trung tuyến, thuộc cạnh đáy. Tam giác đều có ba trục đối xứng.

– Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy.


Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ là đường thẳng a cho trước. Tìm trên đường thẳng a một điểm sao cho hiệu các khoảng cách từ M đến hai điểm A, B có giá trị lớn nhất.

Giải

Bài 6: Đối xứng trục - Hình học 8

Gọi B’ là điểm đối xứng với điểm B qua đường thẳng a.

Nối AB’ đường thẳng AB’ cắt đường thẳng a tại điểm M. Đó chính là điểm M cần tìm.

Vì MB = MB’ và ba điểm A, B’, M thẳng hàng nên:

|MA – MB| = |MA – MB’| = AB’

Ta chứng minh rằng với mọi điểm \(M’ \in a\) mà \(M’ \ne M\) thì hiệu:

|M’A – M’B| > |MA – MB|

Thật vậy, ta có M’B’ = M’B, suy ra:

|M’A – M’B| = |M’A – M’B’|

Trong tam giác AM’B’, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

\(\left| {M’A – M’B’} \right| \le \left| {MA – MB} \right|\)

Dấy “=” xảy ra chỉ khi M’ trùng với M.

Chú ý: Trường hợp đặc biệt, khi AB’ song song với a, tức là hai điểm A, B cách đều đường thẳng a thì điểm M cần tìm là giao điểm của AB với đường thẳng a.


Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền ngoài của góc ấy.

Gọi: \({M_1}\) là điểm đối xứng của M qua Ox

\({M_2}\) là điểm đối xứng của M qua Oy

I là trung điểm của đoạn thẳng \({M_1}{M_2}.\)

1. Xác định trục đối xứng mà qua đó \({M_1}\)và \({M_2}\) là hai điểm đối xứng với nhau.

2. Hai tia OM và OI đối xứng với nhau qua trục là đường thẳng nào?

Giải

Bài 6: Đối xứng trục - Hình học 8

1. M và \({M_1}\)là đối xứng với nhau qua Ox

\( \Rightarrow O{M_1} = OM\)

M và \({M_2}\)là đối xứng với nhau qua Oy

\( \Rightarrow O{M_2} = OM\)

Vậy \(O{M_1} = O{M_2}\)

\( \Rightarrow \Delta O{M_1}{M_2}\) cân;

Vậy OI là đường trung trực của \({M_1}{M_2}.\)

2. Kẻ tia phân giác Oz của góc xOy.

Dễ thấy \(\widehat {{M_1}OM} = \widehat {2MOx} = 2(\widehat {MOy} + \widehat {xOy})\)

\(\begin{array}{l}\widehat {{M_2}OM} = 2\widehat {MOy}\\ \Rightarrow \widehat {{M_1}O{M_2}} = 2\widehat {xOy}.\end{array}\)

Từ đây, ta có: \(\widehat {{M_1}OI} = \frac{1}{2}\widehat {{M_1}O{M_2}} = \widehat {xOy}\) (1)

Ta cũng có \(\widehat {{M_1}Ox} = \widehat {MOx}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IOx} = \widehat {MOy}\)   (3)

Vì Oz là tia phân giác của xOy, nên \(\widehat {xOz} = \widehat {yOz}\)   (4)

Từ (3) và (4) ta có: \(\widehat {MOz} = \widehat {IOz}\)

Vậy Oz là tia phân giác của góc \(\widehat {MOI}\) hay OM và OI đối xứng với nhau qua Oz.


Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua AB, AC. Chứng minh rằng:

1. Điểm A là trung điểm của đoạn thẳng DE.

2. DE = 2AH.

Giải

Bài 6: Đối xứng trục - Hình học 8

1. D và H đối xứng với nhau qua AB nên AD = AH.

Tam giác DAH cân tại đỉnh A mà \(AB \bot DH\) nên AB cũng là phân giác của góc DAH, suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_3}}\)

Tương tự, ta có AE =AH và  \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{A_4}}\)

Từ các kết quả trên ta có:

\(\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_4}} = 2(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}) = {2.90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Ba điểm D, A, E thẳng hàng   (1)

Ta cũng có AD = AE  (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của DE.

2. Ta có ngay AD = AH và AE = AH

\(\Rightarrow DE = AD + AE = 2AH\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua các cạnh AB, AC. Đường thẳng DE cắt  AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh:

1. Tam giác DAE là tam giác cân.

2. HA là phân giác của góc MHN.

3. Ba đường thẳng BN, CM và AH đồng quy.

4. BN, CM là các đường cao của tam giác ABC.

Giải

Bài 6: Đối xứng trục - Hình học 8

1. Ta có  AD = AH và AE = AH

Suy ra AD = AE.

2. Do tính chất đối xứng, ta suy ra AB là phân giác của góc DMH

Kẻ \(AI \bot HM\) và \({\rm{AJ}} \bot DM\)

\( \Rightarrow AI = {\rm{AJ}}\,\,\,(1)\)

AC là phân giác của góc ENH, kẻ \(AK \bot HN\), ta có:

AK = AJ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AI = AK. Điểm A cách đều hai cạnh của góc MHN.

Vậy HA là tia phân giác của góc MHN.

3. Chứng minh tương tự, ta có:

CM là tia phân giác của góc HMN

BN là tia phân giác của góc MNH.

Trong tam giác MHN, các đường phân giác trong HA, MC, NB phải đồng quy tại một điểm.

4. AB là phân giác của góc DMH; MC là phân giác của góc MHN mà hai góc DMH và MHN là hai góc kề bù. Vậy \(MC \bot AB.\)

\( \Rightarrow \) CM là đường cao của \(\Delta ABC\)

Tương tự, ta có BN là đường cao của \(\Delta ABC\).


Bài 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc ấy. Tìm trên cạnh Ox một điểm B, trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.

Giải

Bài 6: Đối xứng trục - Hình học 8

Lấy điểm \({A_1}\) đối xứng với A qua Ox

\({A_2}\) đối xứng với A qua Oy

Ta có

\(\begin{array}{l}AB = {A_1}B\\AC = {A_2}C\\ \Rightarrow AB + BC + CA = {A_1}B + BC + {A_2}C\end{array}\)

Mà \({A_1}B + BC + {A_2}C\) nhỏ nhất khi bốn điểm \({A_1},B,C,{A_2}\) thẳng hàng. Do vậy để tìm hai điểm B và C, ta làm như sau:

– Lấy điểm \({A_1}\) đối xứng với A qua Ox và điểm \({A_2}\) đối xứng với A qua Oy.

– Nối \({A_1}{A_2},\)đường thẳng này cắt Ox tại B và cắt Oy tại C.

Tam giác ABC vừa vẽ là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Thật vậy, với mọi điểm \(B’ \in Ox\) mà \(B’ \ne B\) và \(C’ \in Oy\) mà \(C’ \ne C\) thì chu vi tam giác AB’C’ là:

\(\begin{array}{l}AB’ + B’C’ + C’A = {A_1}B’ + C’B’ + B'{A_1} > {A_1}{A_2}\\ \Rightarrow AB’ + B’C’ + C’A > AB + BC + CA.\end{array}\)

Chú ý: Nhờ vào bất đẳng thức tam giác, ta có thể chứng minh mệnh đề: “Độ dài đường gấp khúc thì lớn hơn độ dài đoạn thẳng có chung hai đầu mút với đường gấp khúc”.


Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD)

Gọi E, F theo thứ tự các điểm đối xứng của điểm B và điểm A qua đường thẳng DC; G; H theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm C và điểm E qua đường thẳng AD.

1. Chứng minh điểm D là trung điểm của các đoạn thẳng BH.

2. Chứng minh AH // BF và CH // BG.

Giải

Bài 6: Đối xứng trục - Hình học 8

1. Gọi I là giao điểm của BE và DC, do tính chất đối xứng, ta có:

BI = IE mà IE = DF

\( \Rightarrow BI = DF\)

Ta cũng có DI = HF

\( \Rightarrow \) Hai tam giác vuông BID và DFH bằng nhau cho ta

DB = DH (1) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} + \widehat {{D_3}} = \widehat {{D_1}} + \widehat {{B_1}} + {90^0} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Vậy H, D, B thẳng hàng  (2)

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng BH.

2. Dễ dàng chứng minh \(\Delta ADH = \Delta FDB \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{F_1}} \Rightarrow AH//BF\)

\(\Delta BDG = \Delta HDC \Rightarrow \widehat {{G_1}} = \widehat {{C_1}} \Rightarrow CH//BG\)

Leave a Reply