Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Kiến thức cần nhớ:

1. Lập phương của một tổng: \({(A + B)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

2. Lập phương của một hiệu: \({(A – B)^3} = {A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3}\)

Việc chứng minh các hằng đẳng thức này cũng dựa trên việc nhân đa thức với đa thức.

Chẳng hạn như ở hằng đẳng thức lâp phương của một tổng ta có thể chứng minh như sau :

\(\begin{array}{l} {(A + B)^3} = (A + B){(A + B)^2}\\ = (A + B)({A^2} + 2AB + {B^2})\\ = {A^3} + 2{A^2}B + A{B^2} + {A^2}B + 2A{B^2} + {B^3}\\ = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} \end{array}\)

chúng ta cũng chứng minh tương tự cho hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

Bài tập minh họa

Bài 1. Tính nhanh:

a. \({97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\)

b. \({16^3} – {3.16^2}.6 + {3.16.6^2} – {6^3}\)

Hướng dẫn:

a.

\(\begin{array}{l} {97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\\ = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000 \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} {16^3} – {3.16^2}6 + {3.16.6^2} – {6^3}\\ = {\left( {16 – 6} \right)^3} = {10^3} = 1000 \end{array}\)

Bài 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + 1} \right)^3}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + y + 1} \right)^3}\\ = {\left[ {(x + y) + 1} \right]^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2} + 3(x + y) + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3x + 3y + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 3x + 3y + 1 \end{array}\)

Bài 3. Chứng minh rằng: \({\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\)

Hướng dẫn:

Ta có thể biến đổi vế phải như sau

\(\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xy + xz + {y^2} + yz)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xyz + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}y + {x^2}z + {y^2}x + xyz)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 6xyz + 3x{z^2} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + 3{x^2}y + 3{x^2}z + 3x{y^2}\\ = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {3{x^2}z + 6xyz + 3{y^2}z} \right) + \left( {3x{z^2} + 3y{z^2}} \right) + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3({x^2} + 2xy + {y^2})z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2}z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {\left( {x + y + z} \right)^3} \end{array}\)

Bên cạnh đó các em cũng có thể biến đổi từ vế trái thành vế phải.

Leave a Reply