Bài 3: Hình thang cân – Hình học 8

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

ABCD là hình thang cân (đáy AB; CD)

\( \Leftrightarrow {\rm{ AB // CD }}\) và \({\rm{\hat C = \hat D}}\)

Bài 3: Hình thang cân - Hình học 8

2. Tính chất:

Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)  => AD = BC

Định lí 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)  => AC = BD

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Hình thang ABCD (đáy AB, CD) có AC = BD  => ABCD là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

– Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lưu ý: 

* Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Ví dụ như hình vẽ dưới đây:

Bài 3: Hình thang cân - Hình học 8

 

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD có \(AB\parallel CD\), AB < CD, H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên CD. Chứng minh rằng: DK=HC.

Hướng dẫn:

Ta có hình vẽ như sau:

Bài 3: Hình thang cân - Hình học 8

Xét hai tam giác vuông ADH và BCK ta có:

AD=BC (hai cạnh bên của hình thang cân)

\(\angle ADH = \angle BCK\) (hai góc kề một đáy của hình thang cân)

\( \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒DH = CK

⇒DH+HK =CK+HK

⇒DK=CH ( điều phải chứng minh)

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có \(AB\parallel CD\) ,AB < CD, gọi E là giao điểm của hai cạnh bên, F là giao điểm của hai đường chéo. chứng minh rằng EF là trung trực của AB.

Hướng dẫn:

Ta có hình vẽ:

Bài 3: Hình thang cân - Hình học 8

Dễ thấy rằng EAB là tam giác cân tại E , ta có  EA=EB nên E nằm trên đường trung trực của AB.(1)

Xét hai tam giác ABD và BAC ta có:

AB là cạnh chung

AD=BD (cạnh bên của hình thang cân)

AC=BD (hai đường chéo của hình thang cân)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta BAC\) (cạnh-cạnh-cạnh)

\(\angle ABD = \angle BAC\)

⇒ AFD là tam giác cân tại F

⇒AF=BF nên F cũng nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) có È là đường trung trực của AB (điều phải chứng minh)

Bài 3: Hình thang cân ABCD với AB, CD là hai đáy, AB < CD có \(BD \bot BC\) , BD là phân giác của góc D, biết BC=6 cm. Tính chu vi hình thang.

Hướng dẫn:

Bài 3: Hình thang cân - Hình học 8
Ta có:\(\angle ADC = \angle BCD\) (tính chất hình thang cân)

Mà \(\angle BDC = \frac{1}{2}\angle ADC\) (tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \angle BDC = \frac{1}{2}\angle BCD\)

Bên cạnh đó ta còn có \(\angle BDC + \angle BCD = {90^0}\)

Từ đó ta được \(\begin{array}{l} \angle BDC = {30^0}\\ \angle BCD = {60^0} \end{array}\)

Gọi E là trung điểm của CD, xét tam giác BEC ta có:

\(BE = EC = \frac{1}{2}CD\) (BE là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên bằng một nửa cạnh huyền)

\(\angle BCD = {60^0}\)

⇒Tam giác BEC là tam giác đều ⇒\(BC = BE = EC = \frac{1}{2}CD\)

⇒CD=2.BC=2.6=12 (cm)

Ta có:

\(\angle ADB = \angle BDE\) (tính chất đường phân giác)

\(\angle BDE = \angle ABD\) (hai góc so le trong)

\(\angle ADB = \angle ABD\)

⇒ Tam gác ABD cân tại A

⇒AB=AD

mà AD=BC=6 nên AB=6 cm

Vậy chu vi hình thang ABCD là : AB+BC+CD+DA=6+6+12+6=30 (cm)

Leave a Reply