Bài 12: Hình vuông – hình học 8

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Từ định nghĩa này ta suy ra:

– Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

– Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.

2. Tính chất

Vì hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi nên hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật (Chẳng hạn: hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) và  có tất cả các tính chất của hình thoi (chẳng hạn: hai đường chéo vuông góc với nhau và mỗi đường chéo là phân giác của các góc ở đỉnh), đặc biệt ta có thể phát biểu định lí:

Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Tâm đối xứng và trục đối xứng của hình vuông

– Hình vuông có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

– Hình vuông có bốn trục đối xứng là hai đường chéo và hai đường thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện.

Bài 12: Hình vuông - hình học 8

4. Dấu hiệu nhận biết

Để chứng minh một hình vuông, ta chứng minh:

– Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

– Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

– Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc

– Hình thoi có một góc vuông.

– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.


Ví dụ 1: Trên một đường thẳng xy, lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự ấu và AB > BC. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy, vẽ các hình vuông ABDE và BCFG. Một điểm H thuộc đoạn thẳng AB và một điểm K thuộc tia đối của tia DB sao cho AH = DK = BG. Chứng minh rằng EHFK là hình vuông.

Giải

Bài 12: Hình vuông - hình học 8

Ta có: \(\Delta EAK = \Delta KGF = \Delta HCF = \Delta EAH\)

\( \Rightarrow EK = KF = FH = HE\)

\( \Rightarrow \) EHFK là hình thoi (1)

\(\Delta EDK = \Delta KGF \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{K_1}}\)

Mà \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{K_2}} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{K_1}} + \widehat {{K_2}} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {EKF} = {90^0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH và  trung tuyến AM. Đường phân giác của góc A cắt đường trung trực của cạnh BC tại điểm D. Từ D kẻ DE vuông góc với BC và DF vuông góc với AC. Chứng minh:

1. AD là phân giác của góc HAM.

2. Ba điểm E, M, F thẳng hàng.

3. Tam giác BDC là tam giác vuông cân.

Giải

Bài 12: Hình vuông - hình học 8

1. Ta có:

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) (cùng phụ với \(\widehat B\))

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_2}}\) (\(\Delta AMC\)cân)

Suy ra \(\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}}\)

\( \Rightarrow \) AD là phân giác của góc HAM.

2. AH // DM \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{A_4}}\) mà \(\widehat {{A_4}} = \widehat {{A_3}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{A_3}} \Rightarrow \Delta AMD\) cân

\( \Rightarrow \) MA = MD.

Ta dễ dàng chứng minh được AEDF là hình vuông, cho ta

EA = ED; FA = FD

Như vậy cả ba điểm E, M, F đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

3. \(\Delta BED = \Delta CFD \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{D_3}}\)

\(\widehat {BDC} = \widehat {BDF} + \widehat {{D_3}} = \widehat {BDF} + \widehat {{D_2}} = \widehat {EDF} = {90^0}\)

Kết hợp với DB = DC suy ra đpcm.


Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. Từ một điểm M thuộc đường chéo BD, ta kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD. Chứng minh:

1. DE = CF và \(DE \bot CF.\)

2. CM = EF và \(CM \bot {\rm{EF}}{\rm{.}}\)

3. BF = CE và \(BF \bot CE.\)

4. Qua các kết quả trên, có thể kết luận gì vị trí tương đối của các đường thẳng DE, CM và BF?

Giải

Bài 12: Hình vuông - hình học 8

1. \(\Delta EAD = \Delta FDC\)

\( \Rightarrow DE = CF\) và \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\)

Ta có \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {DKF} = {90^0}\\ \Rightarrow DE \bot CF.\end{array}\)

2. ABCD là hình vuông; \(M \in BD\)

\( \Rightarrow \) MA = MC.

AEMF là hình chữ nhật \( \Rightarrow \) MA = EF. Vậy CM = EF.

\(\Delta CNM = \Delta EAF \Rightarrow \widehat {{C_2}} = \widehat {AEF}\)

\(AB//FN \Rightarrow \widehat {EKM} = \widehat {{M_1}}\) (đồng vị)

\(\widehat {EKM} + \widehat {AEF} = \widehat {{C_2}} + \widehat {{M_1}} = {90^0} \Rightarrow \widehat {KIE} = {90^0} \Rightarrow CM \bot {\rm{EF}}\)

3.

\(\begin{array}{l}\Delta B{\rm{AF = }}\Delta {\rm{CBE}} \Rightarrow BF = CE \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {BCE}\\ \Rightarrow \widehat {BEC} + \widehat {ABF} = \widehat {BEC} + \widehat {BCE} = {90^0} \Rightarrow \widehat {EHB} = {90^0}\\ \Rightarrow BF \bot CE.\end{array}\)

4. Trong tam giác CEF thì DE, CM và DF là các đường cao nên chúng đồng quy.

Chú ý: Trong bài này, để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chứng minh rằng chúng tạo với mội đường thẳng thứ ba một tam giác có tổng hai góc bằng \({90^0}\)

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là những đường thẳng đặc biệt trong tam giác (đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực).

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A và AB < AC. Kẻ đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A, bờ là đường thẳng BC, vẽ hình AHDE.

1. Chứng minh điểm D thuộc đoạn thẳng HC.

2. Gọi F là giao điểm của DE và AC. Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại điểm G. Chứng minh tứ giác ABGF là hình vuông.

3. Chứng minh ba đường thẳng AG, BF và HE đồng quy.

4. Chứng minh tứ giác DEHG là hình thang.

Giải

Bài 12: Hình vuông - hình học 8

1. Ta có: \(AC > AB \Rightarrow \widehat B > \widehat C\)

Mà \(\widehat B = \widehat {{A_2}} \Rightarrow \widehat {{A_2}} > \widehat C\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC > AH;\,\,\,\,AH = HD\\ \Rightarrow HD > HC\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Điểm D nằm giữa hai điểm H, D hay D thuộc đoạn thẳng HC.

2. \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^0};\,\,\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{A_3}} = \widehat {{A_1}}\)

Kết hợp với AE = AH suy ra \(\Delta AEF = \Delta AHB \Rightarrow AB = {\rm{AF}}\,\,{\rm{(1)}}\)

\(\widehat {{\rm{BAF}}} = \widehat {BAH} + \widehat {{\rm{HAF}}} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {FAE} \Rightarrow \widehat {{\rm{BAF}}} = {90^0}\,\,\,\,(2)\)

AF // BG và AB // FG \( \Rightarrow \) ABGF là hình bình hành.   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ABGF là hình vuông.

3. Gọi M là giao điểm của BF và AG. Trong tam giác vuông BDF, DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BF.

\(MD = \frac{1}{2}BF \Rightarrow MD = MA\)

\( \Rightarrow \)M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Ta cũng có EA = ED, HA = HD \( \Rightarrow \) E, H cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD hay ba điểm H, M, E thẳng hàng, HE cũng đi qua M . Vậy BF, AG và HE đồng quy tại M.

4. AHDE là hình vuông \(HE \bot AD.\)

Trong tam giác ADG, trung tuyến MD bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đối diện  AG. Vậy \(\Delta ADG\) là tam giác vuông tại D.

\(\widehat {ADG} = {90^0} \Rightarrow DG \bot AD.\)

Từ các kết quả trên, suy ra HE // DG.

Vậy  DEHG là hình thang.


Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = a và một điểm M bất kì thuộc đoạn thẳng ấy. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.

1. Chứng minh  tại một điểm mà ta gọi là H.

2. Chứng minh D, H, F thẳng hàng.

3. Gọi I là trung điểm của đoạn  thẳng DF. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AB theo a; suy ra rằng I là điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB.

4. Chỉ rõ rằng đường thẳng BE đi qua I. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì đỉnh C của hình vuông BMEF di chuyển trên những đường thẳng cố định nào?

Giải

Bài 12: Hình vuông - hình học 8

1. Ta có: AC // MF

MBFE là hình vuông nên \(EB \bot MF\)

Từ các kết quả này, suy ra \(EB \bot AC.\)

Xét \(\Delta ABC,\) ta có \(EB \bot AC,\,CM \bot AB.\)

\( \Rightarrow \) E là trực tâm của \(\Delta ABC.\)

Vậy \(AE \bot BC.\)

2. \(AE \bot BC\) tại H \( \Rightarrow \Delta AHC\) vuông tại H.

Gọi O là tâm của hình vuông AMCD, trong \(\Delta AHC,\) OH là trung tuyến thuộc cạnh huyền AC nên

\(OH = \frac{1}{2}AC\) hay \(OH = \frac{1}{2}DM.\)

Tam giác DHM có trung tuyến HO bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đối diện DM nên nó là tam giác vuông tại đỉnh \(H \Rightarrow \widehat {DHM} = {90^0}.\)

Tương tự, ta chứng minh được \(\Delta HMF\) vuông tại \(H \Rightarrow \widehat {MHF} = {90^0}.\)

Ta được \(\widehat {DHF} = \widehat {DHM} + \widehat {MFH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Ba điểm D, H, F thẳng hàng.

3. Kẻ \(IH \bot AB \Rightarrow IK\) là đường trung bình của hình thang ABFD.

\(IK = \frac{1}{2}(AD + BF) = \frac{1}{2}(AM + MB) = \frac{1}{2}a.\)

K là trung điểm của AB.

Điểm I nằm trên đường trung trực của AB và \(IK = \frac{1}{2}a\) = không đổi.

\( \Rightarrow \) I là điểm cố định.

4. Dễ thấy \(\widehat {DMF} = {90^0}.\) Tam giác DMF vuông tại M có MI là trung tuyến thuộc cạnh huyền DF nên

\(MI = \frac{1}{2}DF = ID.\)

Vì \(MI = ID \Rightarrow I\) nằm trên đường chéo AC của  hình vuông AMCD, suy ra I là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng AB, nên

\(\widehat {IBA} = \widehat {IAB} = {45^0}.\)

Ta đã có \(\widehat {EBA} = {45^0}\)

Vậy ba điểm B, E, I thẳng hàng.

Như vậy, do \(\widehat {CAB} = {45^0} \Rightarrow \) đường thẳng AC là đường thẳng cố định. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì C di chuyển trên đường thẳng Ax tạo với đường thẳng AB góc \(\widehat {xAB} = {45^0}\)

Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm C di chuyển trên cạnh huyền AC’ cua tam giác ABC’ vuông cân tại đỉnh B (đoạn thẳng AC’ thuộc tia AI), điểm E di chuyển trên cạnh huyền AE’ của tam giác ABE’ vuông cân tại đỉnh A (đoạn thẳng BE’ thuộc tia BI).


Bài 3: Một góc vuông xAy quay quanh đỉnh A của hình vuông ABCD. Cạnh Ax cắt các đường thẳng BC và CD theo thứ tự tại các điểm M, N và cạnh Ay cắt các đường thẳng BC, CD theo thứ tự tại các điểm P, Q.

1. Chứng minh các tam giác NAP, MAQ là các tam giác vuông cân.

2. Gọi E là giao điểm của QM và PN; F và I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng QM và PN. Chứng minh tứ giác AFEU là hình chữ nhật.

3. Khi góc vuông xAy quay quanh đỉnh A thì các điểm F, I di chuyển trên đường thẳng cố định nào?

Giải

Bài 12: Hình vuông - hình học 8

1. Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^0};\,\,\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{A_3}} = \widehat {{A_2}}\)

Kết hợp AD = AB

Suy ra \(\Delta ADN = \Delta ABP\)

\( \Rightarrow \Delta NAP\) vuông cân.

Lí luận tương tự, với hai tam giác ADQ và ABM để có AQ = AM.

2. Trong tam giác PQN, ta có:

\(NA \bot PQ,\,\,\,PC \bot QN.\)

\( \Rightarrow \) M là trực tâm của \(\Delta PQN \Rightarrow QE \bot NP.\)

\(\Delta NAP\) vuông cân, I là trung điểm của PN \( \Rightarrow AI \bot PN\)

\(\Delta QAM\) vuông cân, F là trung điểm của QM \( \Rightarrow {\rm{AF}} \bot {\rm{QM}}{\rm{.}}\)

Tứ giác AFEI có ba góc vuông nên có là hình chữ nhật.

3. Ta có, trong tam giác vuông PCM, CI là trung tuyến thuộc cạnh huyền PN nên

\(CI = \frac{1}{2}PN\)

Trong tam giác vuông PAN, AI là trung tuyến thuộc cạnh huyền PN nên

\(AI = \frac{1}{2}PN\)

\( \Rightarrow IC = IA \Rightarrow I\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CA hay I nằm trên đường thẳng DB (chứa đường chéo BD của hình vuông).

Lí luận tương tự, ta có FA = FC.

Ta đã có DA = DC và BA = BC.

Vậy khi góc vuông xAy quay xung quanh đỉnh A thì hai điểm F, I di chuyển trên đường thẳng DB.

Leave a Reply