Bài 11: Hình thoi – hình học 8

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Từ định nghĩa này, ta suy ra:

Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

2. Tính chất

Vì hình thoi cũng là hình bình hành nên hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành (chẳng hạn: Trong hình thoi hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, các góc đối bằng nhau…)

Bài 11: Hình thoi - hình học 8

Đặc biệt, ta có định lí:

Trong hình thoi:

– Hai đường chéo vuông góc với nhau.

– Hai đường chéo là đường phân giác các góc của nó.

ABCD là hình thoi \( \Rightarrow AB = BC = CD = DA\)

\(\begin{array}{l}AC \bot BD,OA = OC,OC = OB\\\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}.\end{array}\)

3. Tâm đối xứng và trục đối xứng của hình thoi

– Hình thoi có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

– Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo.

4. Chứng minh một tứ giác là hình thoi.

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

1. Có bốn cạnh bằng nhau.

2. Là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

3. Là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

4. Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc ở đỉnh.


Ví dụ 1: Từ các đỉnh của một hình chữ nhật, ta kẻ các đường thẳng vuông góc với các đường chéo của hình chữ nhật. Chứng minh rằng các đường thẳng này cắt nhau tạo thành một hình thoi.

Giải

Bài 11: Hình thoi - hình học 8

Dễ thấy FH // GE và GF//HE

\( \Rightarrow \) EHFG là hình bình hành (1)

\(\Delta AEB\) cân, \(\Delta CFD\) cân \( \Rightarrow \) F, E nằm trên trục đối xứng của hình chữ nhật. Tương tự, G, H nằm trên trục đối xứng thứ hai

\( \Rightarrow {\rm{EF}} \bot {\rm{GH}}\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.


Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng MN và PQ bằng nhau và giao nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Tại các đầu mút của mỗi đoạn thẳng, ta vẽ các đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy, các đường thẳng này cắt nhau theo thứ tự tại các điểm A, B, C,D.

1. Chứng minh rằng B và D đối xứng với nhau qua tâm O.

2. Chứng minh rằng B và D đối xứng với nhau qua trục AC.

3. Suy ra tứ giác ABCD là hình thoi.

Giải

Bài 11: Hình thoi - hình học 8

1. \(\Delta BMO = \Delta BQO \Rightarrow BM = BQ\)

Kết quả với \(BM \bot OM,BQ \bot OQ\)

Suy ra OB là tia phân giác của góc MOG

Tương tự, OD là tia phân giác của góc PON.

Hai góc MOQ và PON là hai góc đối đỉnh, vậy OB và OD là hai tia đối nhau, suy ra B, O, D thẳng hàng (1)

\(\Delta BMO = \Delta DNO \Rightarrow OB = OD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra B và D đối xứng với nhau qua tâm O.

2. Tương tự, ta chứng minh được OC là tia phân giác của góc QON và ba điểm A, O, C thẳng hàng OA = OC.

\(\widehat {MOQ}\) và \(\widehat {QON}\) là hai góc kề bù nên \(OB \bot OC\)  hay \(BD \bot AC\)

Kết hợp với OB = OD suy ra AC là trung trực của BD hay B và D đối xứng với nhau qua trục AC

3. BD là trung trực của đoạn thẳng AC.

AC là trung trực của đoạn thẳng BD

Vậy ABCD là hình thoi.


Ví dụ 3: Cho hình thang cân ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

1. Chứng minh MNPQ là hình thoi.

2. Chứng minh rằng một trong hai đường chéo của hình thopi MNPQ đi qua giao điểm của hai đường chéo của hình thang ABCD.

Giải

Bài 11: Hình thoi - hình học 8

1.Ta có:

\(\begin{array}{l}PN = \frac{1}{2}DB;\,\,\,\,\,\,QM = \frac{1}{2}DB\\NM = \frac{1}{2}AC;\,\,\,\,\,PQ = \frac{1}{2}AC\end{array}\)

ABCD là  hình thang cân nên AC = BD.

Suy ra PN = MN = MQ = QP \( \Rightarrow \) MNPQ là hình thoi.

2. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình thang.

Dễ dàng chứng minh được OA = OB; OC = OD \( \Rightarrow \) điểm O nằm trên đường trung trực của hai cạnh đáy hình thang ABCD \(O \in PM\) mà PM là một đường chéo của hình thoi MNPQ.

Bài tập minh họa

Bài 1: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD ta lấy các điểm E, M, N, F sao cho BM = DN và BE = DF. Gọi O, P, K, Q, R theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BD, ED, BF, FE và MN.

1. Chứng minh OPQK là hình thoi

2. Chứng minh ba điểm Q, O, R thẳng hàng.

3. Trường hợp nào thì cả 5 điểm A, Q, O, R, C thẳng hàng?

Giải

Bài 11: Hình thoi - hình học 8

1. Ta có:

\(\begin{array}{l}PO = \frac{1}{2}BE;\\QK = \frac{1}{2}BE;\\OK = \frac{1}{2}DF;\\PQ = \frac{1}{2}DF;\end{array}\)

Mà \(BE = DF \Rightarrow PO = OK = KQ = QP\)

\( \Rightarrow \) OPQK là hình thoi

2. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của OG và AB; AD

\(\Delta OPQ\) cân, cho ta \(\widehat {POQ} = \widehat {PQO}.\)

Dễ thấy \(\widehat {POQ} = \widehat {{\rm{AIJ}}},\,\,\widehat {{\rm{AJ}}I} = \widehat {PQO} \Rightarrow \widehat {{\rm{AIJ}}} = \widehat {{\rm{AJ}}I} \Rightarrow \Delta {\rm{IAJ}}\)cân

Kẻ tia phân giác Ax của góc A thì ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{\rm{AIJ}}} \Rightarrow OQ//Az\,\,\)    (1)

Chứng minh tương tự, ta kẻ tia phân giác Cy của góc C thì OR//Cy         (2)

Rõ ràng Ax // Cy     (3)

Từ (1), (2), (3) áp dụng tiên đề Ơclit, ta suy ra ba điểm Q, O, R thẳng hàng.

3. Khi ba điểm A, Q, O thẳng hàng Q, O nằm trên phân giác của góc A. Nếu ba điểm O, R, C cũng thẳng hàng nữa thì chúng phải nằm trên phân giác của góc C. Trường hợp này, ta suy ra đường chéo AC là phân giác của góc A và góc C, Vậy hình bình hành ABCD là hình thoi.


Bài 2: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA ta lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P và trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM = CN = DP = AQ.

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

2. Chứng minh hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có cùng một tâm đối xứng.

3. Hình thoi ABCD phải có điều kiện gì để MNPQ là hình vuông?

Giải

Bài 11: Hình thoi - hình học 8

1.

\(\begin{array}{l}\Delta QAM = \Delta CNP \Rightarrow QM = PN\\\Delta MBN = \Delta PDQ \Rightarrow QP = MN\end{array}\)

\( \Rightarrow \) MNPQ là hình bình hành.

2.

\(\begin{array}{l}\Delta OBM = \Delta ODN \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\\\widehat {POM} = \widehat {POB} + \widehat {{O_1}} = \widehat {POB} + \widehat {{O_2}}\\ = \widehat {BOD} = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) P, O, M thẳng hàng.

Tương tự, ta có Q, O, N thẳng hàng.

3. Để MNPQ là hình thoi thì hình bình hành MNPQ phải có hai cạnh kề bằng nhau, chẳng hạn QM = MN.

Như vậy, ta có: \(\Delta QAM = \Delta MBN \Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {QAM} \Rightarrow \widehat {QAM} = \widehat {BAD}\)

Từ \(\widehat {QAM} = \widehat {BAD}\) và \(\widehat {QAM} + \widehat {BAD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {90^0}\)

Hình thoi ABCD có một góc vuông. Vậy nó là hình vuông.

Gọi O là tâm đối xứng  của hình bình hành, ta thấy AB và CD đối xứng với nhau qua O; \(M \in AB;\,\,P \in CD\) và DP = BM nên suy ra M và P đối xứng với nhau qua tâm O. Tương tự, N và Q cũng đối xứng nhau qua tâm O.

Tứ giác MNPQ nhận O làm tâm đối xứng nên nó là hình bình hành.

Bài 3: Giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD là điểm O. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các giao điểm của các đường phân giác trong của các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA.

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

2. Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để MNPQ là hình vuông?

Giải

Bài 11: Hình thoi - hình học 8

1. OP và OM là các tia phân giác của các góc đối đỉnh DOC và AOB nên chúng là các tia đối của nhau, suy ra O, P, M thẳng hàng.

\(\begin{array}{l}\Delta PDC = \Delta MBAB \Rightarrow DP = MB\\ \Rightarrow \Delta OPD = \Delta OMB \Rightarrow OP = OM\end{array}\)

Lí luận tương tự, ta được OQ = ON

Tứ giác MNPQ là hình bình hành (1)

Các góc AOB và COD kề bù nên các tia phân giác OM, ON vuông góc với nhau:

\(OM \bot ON\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  MNPQ là hình thoi.

2. Để MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo PM và QN  phải bằng nhau

\(\begin{array}{l}PM = QN \Rightarrow OM = OQ\\ \Rightarrow \Delta OAQ = \Delta OAM \Rightarrow \widehat {OAQ} = \widehat {OAM} \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {BAC}\end{array}\)

Như vậy AC phải là phân giác của góc A. Điều này cũng có nghĩa là hình bình hành ABCD phải là hình thoi

Leave a Reply