Bài 1: Tứ giác – Hình học 8

Tứ giác

Bài 1: Tứ giác - Hình học 8

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác lồi

Tứ giác đơn là tứ giác mà các cạnh chỉ cắt nhau tại đỉnh.

Tứ giác lồi là tứ giác đơn luôn nằm trong nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Tính chất

Bài 1: Tứ giác - Hình học 8

a) Tính chất đường chéo

Người ta chứng minh được rằng:

Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của tứ giác.

Ngược lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của nó thì tứ giác ấy là tứ giác lồi.

b) Tính chất góc

Định lí:

Tổng số do bốn góc của tứ giác bằng \({360^ \circ }\)

Phương pháp chứng minh phản chứng

Phương pháp chứng minh phản chứng được tóm tắt như sau:

“Để chứng minh mệnh đề A là đúng, ta giả thiết rằng a là sai. Từ giả thiết A sai ta rút ra được kết luận vô lí (trái với giả thiết hoặc trái với các định lí, tiên đề hoặc trái với các kết luận đúng mà ta có).”

Như vậy A đúng.

Bài tập minh họa

Bài tập cơ bản

Cho tứ giác ABCD có các góc A, B, C, D có số đo tỉ lệ với các số 1; 2; 3; 4.

Tính số đo của các góc \(\widehat {\rm{A}}\)\(\widehat {\rm{B}}\)\(\widehat {\rm{C}}\)\(\widehat {\rm{D}}\)

Ta có: \(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = \frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = \frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}}}}{{1 + 2 + 3 + 4}} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{10}} = {36^ \circ }\)

( vì \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}} = {360^ \circ }\)).

Vậy:

\(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{A}} = {36^ \circ }\) ; \(\frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{B}} = {72^ \circ }\);

\(\frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{C}} = {108^ \circ }\)\(\frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{D}} = {144^ \circ }\).

Bài tập nâng cao:

Cho tứ giác ABCD, biết AB = AD; \(\widehat {\rm{B}} = {90^ \circ };\widehat {\rm{A}} = {60^ \circ }\) và \(\widehat {\rm{D}} = {135^ \circ }\).

1. Tính góc \(\widehat {\rm{C}}\) và chứng minh rằng BD = BC.

2. Từ A ta kẻ AE vuông góc với đường CD. Tính các góc của tam giác AEC.

GiảiBài 1: Tứ giác - Hình học 8

1. Ta có: ​​​\(\begin{array}{l} \widehat {\rm{C}} = {360^ \circ } – ({60^ \circ } + {90^ \circ } + {135^ \circ })\\ \Rightarrow \widehat {\rm{C}} = {75^ \circ } \end{array}\)

Tam giác ABD có AB = AD và \(\widehat {\rm{A}} = {60^ \circ }\)

nên nó là ta giác đều, suy ra:

\(\widehat {{\rm{D}}_1^{}} = {60^ \circ }{\rm{ }}\) và \( \widehat {{\rm{D}}_2^{}} = {135^ \circ }{\rm{ – }}\widehat {{\rm{D}}_1^{}}{\rm{ = 13}}{{\rm{5}}^ \circ }{\rm{ – }}{60^ \circ } = {75^ \circ }{\rm{ }}\)

Tam giác CBD có \(\widehat {\rm{C}} = {\rm{ }}\widehat {{\rm{D}}_2^{}} = {75^ \circ }{\rm{ }}\) nên nó là tam giác cân. Vậy BD = BC.

2. Tứ giác ABCE có \(\widehat {\rm{B}} = {90^ \circ }{\rm{,}}\widehat {\rm{E}} = {90^ \circ }{\rm{; }}\widehat {\rm{C}}{\rm{ = 7}}{{\rm{5}}^ \circ }{\rm{ }}\) nên: \(\widehat {{\rm{EAB}}}{\rm{ = 36}}{0^ \circ } – ({90^ \circ } + {90^ \circ } + {75^ \circ }) = {105^ \circ }\)

Ta có: BC = BD mà BD = BA \( \Rightarrow \) BC = BA

\( \Rightarrow \) \(\Delta {\rm{ABC}}\) là tam giác vuông cân nên : \(\widehat {{\rm{BAC}}} = {45^ \circ }\).

ta có: \(\widehat {{\rm{CAE}}} = {105^ \circ } – {45^ \circ } = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {{\rm{ACE}}} = {90^ \circ } – {60^ \circ } = {30^ \circ }\)

Chú ý: có thể tính \(\widehat {{\rm{ACE}}} \) trước;

\(\Delta {\rm{ABC}}\) vuông cân \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BCA}}} = {45^ \circ }.\)

\(\widehat {{\rm{EAC}}} = \widehat {{\rm{ECB}}} – \widehat {{\rm{ACB}}} = {75^ \circ } – {45^ \circ } = {30^ \circ }\).

Leave a Reply