Bài 7: Tỉ lệ thức – đại số 7

Tóm tắt lý thuyết

1. Tỉ số của hai số hữu tỉ

Thương trong phép chia số hữu tỉ a cho số hữu tỉ b, với \(b \ne 0\), gọi là tỉ số của a và b, kí hiệu \(\frac{a}{b}\,\,(b \ne 0)\).

Chú ý:

  • Tỉ số của a và b đôi khi cũng được nói là tỉ số giữa a và b.
  • Khái niệm tỉ số thường được sử dụng để nói về thương của hai đại lượng cùng đơn vị đo, do vậy vậy khi lập tỉ số giữa hai đại lượng thì cần phải đưa các đại lượng về cùng một đơn vị đo và tỉ số giữa hai đại lượng (cùng đơn vị đo) là tỉ số giữa số đo của đại lượng thứ nhất với số đo của đại lượng thứ hai.

2. Tỉ lệ thức

a) Định nghĩa

  • Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số.

Nếu hai tỉ số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) bằng nhau thì ta có tỉ lệ thức:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) hoặc \(a:b = c:d\)

  • Trong tỉ lệ thức trên đây thì các số hạng a, b được gọi là các ngoại tỉ, còn b, c gọi là các trung tỉ. Tỉ lệ thức còn gọi là đẳng thức tỉ lệ.

b) Tính chất

  • Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\)

Tính chất này được phát biểu như sau: Trong một tỉ lệ thức thì tích các trung tỉ bằng các ngoại tỉ.

  • Từ đẳng thức ad = bc với \(a,b,c,d \ne 0,\) ta có thể suy ra bốn tỉ lệ thức sau:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\,\,\,\,\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\,\,\,\frac{c}{a} = \frac{d}{b};\,\,\,\,\frac{d}{c} = \frac{b}{a}.\)

Trong bốn tỉ lệ thức, để từ một tỉ lệ thức này suy ra một tỉ lệ thức khác, ta thực hiện việc hoán vị các trung tỉ, ngoại tỉ.

  • Trong một tỉ lệ thức, nếu biết ba số hạng thì ta có thể tìm được số hạng thứ tư.
  • Trong tỉ lệ thức \(\frac{x}{a} = \frac{b}{x},\) ta có \({x^2} = a.b.\) Số x được gọi là trung bình nhân của hai số a và b.

Ví dụ 1:

a) Cho bốn số 4; 8; 13; 26. Có thể lập được một tỉ lệ thức từ bốn số ấy không? Nếu có thì lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có.

b) Cho ba số 2,25 ; 7, 5 và \(\frac{{25}}{6}.\) Tìm một số x để hợp với ba số đã cho thành một bộ bốn số mà từ đó ta có thể lập thành các tỉ lệ thức.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 8.13 = 104; 4. 26 = 104

Do đó  8 . 13 = 4 . 26

Vậy với bốn số 4, 8, 13, 26 ta có thể lập thành các tỉ lệ thức:

\(\frac{4}{8} = \frac{{23}}{{26}};\,\,\,\,\frac{8}{4} = \frac{{26}}{{13}};\,\,\,\frac{4}{{13}} = \frac{8}{{26}};\,\,\,\frac{{13}}{4} = \frac{{26}}{8}\)

b) Ta có \(7,5:2,25 = x:\frac{{25}}{6}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{7,5.\frac{{25}}{6}}}{{2,25}} = \left( {\frac{{15}}{2}.\frac{{25}}{6}} \right):\frac{9}{4}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{125}}{9}.\)


Ví dụ 2:

Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) ta suy ra \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}.\)

Hướng dẫn giải:

Từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Ta cộng thêm 1 vào hai vế và có:

\(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)

Chú ý: Ta còn có thể có các cách chứng minh khác như sau:

  • Từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc\)

Cộng cả hai vế của đẳng thức này với bd, ta có:

\(ad + bd = bc + bd \Rightarrow d(a + b) = b(c + d)\)

Từ đẳng thức này ta có \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)

  • Gọi \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\) thế a = kb; c = kd

\( \Rightarrow a + b = kb + b = b(k + 1)\)

\(c + d = kd + d = d(k + 1)\)

Vậy: \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{b(k + 1)}}{b} = k + 1;\,\,\frac{{c + d}}{d} = \frac{{d(k + 1)}}{d} = k + 1;\)

Từ hai kết quả này, ta có ngay \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\).


Ví dụ 3:

Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy viết các tỉ lệ thức đó: 3; 9; 27; 81; 243

Hướng dẫn giải:

Từ 4 trong 5 số đã cho, ta có thể lập được ba đẳng thức:

3 .243 = 9.81 (1)

9.243=27.81 (2)

3.81 = 9.27 (3)

Từ mỗi đẳng thức trên, ta lại lập được bốn tỉ lệ thức.

Ví dụ từ (1) ta có:

\(\frac{3}{9} = \frac{{81}}{{243}};\,\,\,\frac{3}{{81}} = \frac{9}{{243}};\,\,\,\frac{{243}}{9} = \frac{{81}}{3};\,\,\,\,\frac{{243}}{{81}} = \frac{9}{3}\)

Vậy có thể lập được 12 tỉ lệ thức từ các số đã cho.

Bài tập minh họa

Bài 1:

Tìm x trong tỉ lệ thức:

a. \(\frac{{x – 1}}{{x + 5}} = \frac{6}{7}\,\,\,(x \ne 5)\)

b. \(\frac{{{x^2}}}{6} = \frac{{24}}{{25}}\)

c. \(\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}}(x \ne 1,x \ne  – 7)\)

Hướng dẫn giải:

a. \(\frac{{x – 1}}{{x + 5}} = \frac{6}{7}\,\, \Rightarrow (x – 1)7 = (x + 5)6\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 7x – 7 = 6x + 30\\ \Rightarrow 7x – 6x = 30 + 7\\ \Rightarrow x = 37\end{array}\)

b. \(\frac{{{x^2}}}{6} = \frac{{24}}{{25}} \Rightarrow {x^2} = \frac{{24.6}}{{25}}\)

\( \Rightarrow {x^2} = \frac{{144}}{{25}} \Rightarrow x = \frac{{12}}{5};x = \frac{{ – 12}}{5}\)

c. Ta có: \(\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}}\)

Suy ra \((x – 2)(x + 7) = (x + 4)(x – 1)\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + 7x – 2x – 14 = {x^2} – x + 4x – 4\\{x^2} + 5x – 14 = {x^2} + 3x – 4\\2x = 10\\x = 5\end{array}\)


Bài 2:

Chứng minh tứ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (với \(b,d \ne 0\) ) ta suy ra được \(\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc \Rightarrow ab + ad = ab + bc\\ \Rightarrow a(b + d) = b(a + c)\\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\end{array}\).


Bài 3:

Tìm hai số x và y biết:

\(\frac{x}{7} = \frac{y}{{13}}\) và x + y =40

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\frac{x}{7} = \frac{y}{{13}} = k\)

Ta có:

\(x = 7k,y = 13k\)

Vì \(x + y = 40 \Rightarrow 7k + 13k = 40\)

\( \Rightarrow 20k = 40 \Rightarrow k = 2\)

Nên \(x = 7.2 = 14\)

\(y = 13.2 = 26\).

Leave a Reply