Bài 6: Từ vuông góc đến song song – hình học 7

Tóm tắt lý thuyết

1. Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song của ba đường thẳng:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

2. Ba đường thẳng song song:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

* Ba đường thẳng d, d’, d’’ song song với nhau từng đôi mội ta nói ba đường thẳng ấy song song với nhau. Ký hiệu: d // d’ // d’’.


Ví dụ 1: Trong hình, biết \(\widehat M = {120^0},\widehat N = {60^0}\) và \(\widehat F = {90^0}.\) Chứng minh \(a \bot c.\)

Giải

Bài 6: Từ vuông góc đến song song - hình học 7

Ta có: \(\widehat M + \widehat N = {120^0} + {60^0} = {180^0},\) suy ra a//b (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Ta có \(\widehat F = {90^0} \Rightarrow c \bot b,\) mà a // b nên \(c \bot a\)(hệ quả của định lý hai đường thẳng song song).


Ví dụ 2: Trên hình bên ta có \(\widehat {ABC} = \widehat A + \widehat C.\) Hai đường thẳng Ax và Cy có song song với nhau hay không?

Giải

Bài 6: Từ vuông góc đến song song - hình học 7

Vẽ tia Bm sao cho \(\widehat {ABm}\) và \(\widehat A\) là hai góc so le trong và bằng nhau.

Ta có \(\widehat {ABm} = A \Rightarrow Ax//Bm\,\,\,{\,^{\,(1)}}\)

Tia Bm nằm giữa hai tia BA, BC nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ABm} + \widehat {CBm}\)

Hay \(\widehat {ABC} = \widehat A + \widehat {CBm}\)

\(\widehat {ABC} = \widehat A + \widehat C\,\,\,\,(gt)\)Mặt khác

Suy ra \(\widehat C = \widehat {CBm}\)

Hai góc C và CBm bằng nhau ở vị trí so le trong nên Cy //Bm (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ax // Cy.

\(xOy = {145^0}.\)


Ví dụ 3: Cho góc  Trên tia Ox lấy điểm A. Qua A vẽ tia Az sao cho tia Az và Oy nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chừa tia Ox và \(\widehat {OAz} = {35^0}.\)

a. Chứng minh: Az // Oy

b. Vẽ tia Az’ đối với tia Az. Chứng minh hai đường phân giác của hai góc xOy và OAz’ song song với nhau.

Giải

Bài 6: Từ vuông góc đến song song - hình học 7

a. Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {xOy} = {145^0}\,\,\,\,\,(gt)\\\widehat {OAz} = {35^0}\,\,\,\,\,\,\,\,(gt)\\ \Rightarrow \widehat {xOy} + \widehat {OAz} = {180^0}\end{array}\)

mà \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {OAz}\) ở vị trí góc trong cùng phía nên Az // Oy.

b. Gọi Ot phân giác \(\widehat {AOy}\) nên

\(\widehat {AOt} = \frac{1}{2}\widehat {AOy} = \frac{1}{2}{.145^0} = {72^0}30’\,\,{\,^{\,(1)}}\)

\(\widehat {OAz’}\)\(\widehat {OAz}\) kề bù mà \(\widehat {OAz} = {35^0}\) nên \(\widehat {OAz’} = {145^0}\)

Gọi Am là phân giác \(\widehat {OAz’}\) ta có: \(\widehat {OAm} = \frac{1}{2}\widehat {OAz’} = {72^0}30’\,\,{\,^{(2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {OAm} = \widehat {AOt.}\)

\(\widehat {OAm}\)

Mà và \(\widehat {AOt}\) ở vị trí so le trong

Nên Am // Ot.

Bài tập minh họa

Bài 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Cho hai đường thẳng song song a và b. Nếu đường thẳng d vuông góc với a thì d cũng vuông góc với b.

C. Với ba đường thẳng a, b và c. Nếu \(a \bot b\) và \(b \bot c\) thì \(a \bot c.\)

D. Hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau tại O nếu \(\widehat {xOy} = {90^0}\) thì ba góc còn lại cũng là góc vuông.

Giải

\(a \bot b,b \bot c\)Nếu thì a//c do đó C là sai. Vậy chọn C.


Bài 2: Cho góc nhọn xOy. \(QR \bot Ox.\)Từ điểm M trên cạnh Ox, dựng \(MN \bot Oy;\) dựng \(NP \bot Ox;\) dựng

a. Chứng minh MN // PQ; NP // QR.

b. Tìm góc bằng góc PMN.

c. Chứng minh \(\widehat {MNP} = \widehat {NPQ} = \widehat {PQR};\widehat {PNQ} = \widehat {RQO};\,\,\widehat {QPR} = \widehat {NMP}.\)

Giải

a. Ta có

\(\begin{array}{l}MN \bot Oy\,\,\,(gt)\\PQ \bot Oy\,\,\,\,(gt)\end{array}\)

Nên MN // PQ.

NP//QR (cùng vuông góc với Ox)

b. Ta có:

\(\widehat {PMN} = \widehat {RPQ}\) (đồng vị)

c. Ta có:

\(\widehat {MNP} = \widehat {NPQ}\) (so le trong của MN // PQ)

\(\widehat {MNP} = \widehat {PQR}\) (so le trong của NP // QR)

Vậy \(\widehat {MNP} = \widehat {NPQ} = \widehat {PQR}.\)

\(\widehat {PNQ} = \widehat {RQO}\) (đồng vị của NP//QR)

\(\widehat {QPR} = \widehat {NMP}\) (đồng vị)

Vậy \(\widehat {PNQ} = \widehat {RQO};\,\,\widehat {QPR} = \widehat {NMP}.\)


Bài 3: Cho \(\widehat {xOy} = \alpha ,\) điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Tính số đo góc \(\widehat {OAm}\) để \(Am//Ox.\)

Giải

Xét vị trí của tia Am với góc xOy, có 2 trường hợp:

* Tia Am thuộc miền trong góc xOy

* Tia Am thuộc miền ngoài góc xOy.

Bài 6: Từ vuông góc đến song song - hình học 7

Ta có:

* Tia Am thuộc miền trong góc xOy thì có \(\widehat {OAm}\) và \(\widehat {xOy}\) là 2 góc trong cùng phía.

Để Am // Ox thì phải có \(\widehat {xOy} + \widehat {OAm} = {180^0}\,\,hay\,\,\,\alpha  + \widehat {OAm} = {180^0}.\)

Suy ra \(\widehat {OAm} = {180^0} – \alpha \)

* Tia Am thuộc miền ngoài góc xOy thì \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {OAm}\) là 2 góc so le trong.

Vậy để Am // Ox thì \(\widehat {OAm} = \widehat {xOy} = \alpha \).

Leave a Reply