Bài 6: Lũy thừa của một số hữu tỉ (tiếp) – Đại số 7

Tóm tắt lý thuyết

1. Luỹ thừa của một tích

Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa:

\({(x.y)^n} = {x^n}.{y^n}\)

2. Luỹ thừa của một thương

Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa.

\({\left( {\frac{x}{y}} \right)^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\,(y \ne 0)\)


Ví dụ 1:

Tính:

a. \({( – 2)^3} + {2^2} + {( – 1)^{20}} + {( – 2)^0}\).

b. \({({3^2})^2} – {( – {5^2})^2} + {\left[ {{{( – 2)}^3}} \right]^2}\).

c.  \({2^4} + 8{\left[ {{{( – 2)}^2}:\frac{1}{2}} \right]^0} – {2^{ – 2}}.4 + {( – 2)^2}\).

Hướng dẫn giải:

a.

\(\begin{array}{l}{( – 2)^3} + {2^2} + {( – 1)^{20}} + {( – 2)^0}\\ =  – {2^3} + {2^2} + {1^{20}} + 1 =  – 8 + 4 + 1 + 1 =  – 2\end{array}\).

b.

\(\begin{array}{l}{({3^2})^2} – {( – {5^2})^2} + {\left[ {{{( – 2)}^3}} \right]^2} = {3^{2.2}} – {5^{2.2}} + {( – {2^3})^2}\\ = {3^4} – {5^4} + {2^6} = 81 – 625 + 64 =  – 480\end{array}\).

c.

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{2^4} + 8{{\left[ {{{( – 2)}^2}:\frac{1}{2}} \right]}^0} – {2^{ – 2}}.4 + {{( – 2)}^2}}\\ { = {2^4} + 8.1 – {2^{ – 2}}{{.2}^2} + 4 = 16 + 8 – {2^{ – 2 + 2}} + 4}\\ { = 16 + 8 – {2^0} + 4 = 16 + 8 – 1 + 4 = 27} \end{array}\)


Ví dụ 2:

So sánh:

a. \({2^{300}}\) và \({3^{200}}\).

b. \({5^{300}}\) và \({3^{500}}\).

Hướng dẫn giải:

a. Ta có:

\({2^{300}} = {({2^3})^{100}} = {8^{100}}\)

\({3^{200}} = {({3^2})^{100}} = {9^{100}}\)

Vì \({8^{100}} < {9^{100}}\)

Vậy \({2^{300}} < {3^{200}}\).

b. Ta có:

\({5^{300}} = {({5^3})^{100}} = {125^{100}}\)

\({3^{500}} = {({3^5})^{100}} = {243^{100}}\)

Vì \({125^{100}} < {243^{100}}\)

Vậy \({5^{300}} < {3^{500}}\).


Ví dụ 3:

Chứng minh rằng: \({10^9} + {10^8} + {10^7}\) chia hết cho 222.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{10^9} + {10^8} + {10^7} = {10^7}({10^2} + 10 + 1)\\ = {(2.5)^7}({10^2} + 10 + 1)\\ = {2^7}{.5^7}(100 + 10 + 1)\\ = {2^6}{.5^7}.2.111\\ = {2^6.5^7}.222\,\, \vdots \,\,222\end{array}\).

Vậy \({10^9} + {10^8} + {10^7}\) chia hết cho 222.

Bài tập minh họa

Bài 1:

Tính:

a. \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\)

b. \(\frac{{{{27}^2}{{.8}^5}}}{{{6^6}{{.32}^3}}}\)

Hướng dẫn giải:

a. \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} = \frac{1}{{128}}\)

b.

\(\frac{{{{({3^3})}^2}.{{({2^3})}^5}}}{{{{(2.3)}^6}.{{({2^5})}^3}}} = \frac{{{3^6}{{.2}^{15}}}}{{{2^6}{{.3}^6}{{.2}^{15}}}} = \frac{1}{{{2^6}}} = \frac{1}{{64}}\)


Bài 2:

Tìm x biết:

a. \({(x – 2)^2} = 1\)

b. \({(x – 1)^{x + 2}} = {(x – 1)^{x + 4}}\)

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: \({(x – 2)^2} = 1\). Do đó

\(\begin{array}{l}x – 2 = 1 \Rightarrow x = 3\\x – 2 =  – 1 \Rightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy x = 1; 3

b. \({(x – 1)^{x + 2}} = {(x – 1)^{x + 4}}\)

Nếu x = 1 thì \({0^3} = {0^5}\) đúng. Ta được một giá trị x = 1

Nếu \(x \ne 1 \Rightarrow x – 1 \ne 0.\) Chia 2 vế cho \({(x – 1)^{x + 2}}\) ta được: \({(x – 1)^{x + 4 – (x + 2) = 1}}\)

Hay \({(x – 1)^2} = 1.\) Do đó:

\(\begin{array}{l}x – 1 = 1 \Rightarrow x = 2\\x – 1 =  – 1 \Rightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy x = 0; 1; 2


Bài 3:

Số các chữ số của \({4^{16}}{.5^{25}}\) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

\({4^{16}}{.5^{25}} = {({2^2})^{16}}{.5^{25}} = {2^{32}}{.5^{25}}\)

\( = {2^7}.{(2.5)^{25}} = {128.10^{25}}\)

Vậy số các chữ số của \({4^{16}}{.5^{25}}\)là 28.

Leave a Reply