Bài 3: Nhân, chia số hữu tỉ

Bài 3: Nhân, chia số hữu tỉ

1. Quy tắc

a) Nhân hai số hữu tỉ

– Muốn nhân hai số hữu tỉ cùng dấu, ta nhân giá trị tuyệt đối của hai số hữu tỉ đó với nhau và đặt dấu “+” trước kết quả

– Muốn nhân hai số hữu tỉ khác dấu, ta nhân giá trị tuyệt đối của hai số hữu tỉ đó với nhau và đặt dấu “-“ trước kết quả.

\(x.y = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| x \right|.\left| y \right|\,\,\,\,\,\,neu\,\,x,\,y\,\,cung\,\,dau\\ – \left( {\left| x \right|.\left| y \right|} \right)\,\,\,neu\,\,x,\,y\,\,trai\,\,dau\end{array} \right.\)

b) Chia hai số hữu tỉ

– Số nghịch đảo:

Mọi số hữu tỉ \(x \ne 0\) đều có số nghịch đảo, kí hiệu là \({x^{ – 1}}\) sao cho:

\(x.{x^{ – 1}} = 1\)

\(x = \frac{a}{b} \Rightarrow {x^{ – 1}} = \frac{b}{a}\)

– Muốn chi hai số hữu tỉ, ta lấy số hữu tỉ thứ nhất nhân với số nghịch đảo của số hữu tỉ thứ hai:

\(x:y = x.{y^{ – 1}}\) với \(x = \frac{a}{b},y = \frac{c}{d}\,\,(b \ne 0,c \ne 0,d \ne 0).\)

\( \Rightarrow x:y = \frac{a}{b} :\frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{d}{c}\)

\( \Rightarrow x:y = \frac{{a.d}}{{b.c}}\)

2. Chú ý

a) Tính chất phân phối của phép nhân

Phép nhân các số hữu tỉ có tính chất phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

\(\begin{array}{l}x(y + z) = xy + xz;\\x(y – z) = xy – xz.\end{array}\)

Người ta áp dụng tính chất phân phối để:

  • Khai triển một tích

Ví dụ 1:

\((x + y)(a + b) = x(x + b) + y(a + b)\)

\(\begin{array}{l} = x.a + x.b + y.a + y.b\\{\rm{ = ax + ay + bx + by}}{\rm{.}}\end{array}\)

  • Đặt thừa số chung

Nếu một tổng đại số của nhiều số mà các số hạng của nó có một thừa số chung, thì ta có thể đưa thừa số chung này ra ngoài thành thừa số chung của tổng.

Ví dụ 2:

\(A = ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)\)

\( \Rightarrow A = (a + b)(x + y)\)

Hoặc: \(A = ax + bx + ay + by = ax + ay + bx + by\)

\( \Rightarrow A = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)\)

b) Nếu một tích có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0 và ngược lại khi một tích bằng 0 thì ít nhất phải có một thừa số bằng 0.

– Từ quy tắc nhân hai số hữu tỉ ta mở rộng cho tích của nhiều số hữu tỉ và đi đến nhận xét sau:

Nếu trong một tích của các số hữu tỉ khác 0 mà số các thừa số âm là một số chẵn thì tích có dấu “+” và nếu số các thừa số âm là một số lẻ thì tích mang dấu “-“.

c) Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số

Ta có: \(\frac{{x + y}}{z} = \frac{x}{z} + \frac{y}{z};\,\,\)  \(\frac{{x – y}}{z} = \frac{x}{z} – \frac{y}{z}\)

Ví dụ 3:

Tính \(A = \frac{{\frac{{ – 11}}{2} + \frac{{\frac{{ – 5}}{3}}}{{1 – \frac{4}{3}}}}}{{\frac{3}{5} – \frac{{ – \frac{2}{5}}}{{\frac{4}{5} – \frac{2}{3}}}}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta tính phần tử số của A trước:

\(1 – \frac{4}{3} =  – \frac{1}{3}\)                   \(\frac{{ – \frac{5}{3}}}{{ – \frac{1}{3}}} =  – \frac{5}{3}.\left( {\frac{3}{1}} \right) = 5\)            \( – \frac{{11}}{2} + 5 =  – \frac{1}{2}\)

Tiếp đến, ta tính phần mẫu số của A:

\(\frac{4}{5} – \frac{2}{3} = \frac{2}{{15}}\)              \(\frac{{ – \frac{2}{5}}}{{\frac{2}{{15}}}} =  – \frac{2}{5}.\frac{{15}}{2} =  – 3\)        \(\frac{3}{5} – ( – 3) = \frac{3}{5} + 3 = \frac{{18}}{5}.\)

Vậy \(A = \frac{{ – \frac{1}{2}}}{{\frac{{18}}{5}}} =  – \frac{1}{2}.\frac{5}{{18}} =  – \frac{5}{{36}}.\)


Ví dụ 4:

Tính \(B = \frac{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}}}}{{1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}}}}\).

Hướng dẫn giải:

Ta nhân cả tử và mẫu của B với 16 ta được:

\(B = \frac{{16 + 8 + 4 + 2 + 1}}{{16 – 8 + 4 – 2 + 1}} = \frac{{31}}{{11}}\).


Ví dụ 5:

Khai triển biểu thức \(A = (2x + 3y)(5x – 2y).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(A = (2x + 3y)(5x – 2y) = 2x(5x – 2y) + 3y(5x – 2y)\)

\( = 10{x^2} – 4xy + 15xy – 6{y^2} = 10{x^2} + 11xy – 6{y^2}.\)


Ví dụ 6:

Tính giá trị biểu thức:

\(A = {\rm{ax}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{by}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{bx}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{ay}}\,{\rm{ – }}\,{\rm{x}}\,{\rm{ – }}\,{\rm{y}}\)

với \(a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{2},x = \frac{{ – 3}}{5},y = \frac{2}{7}\) theo 2 cách:

a. Thế trực tiếp.

b. Đặt thừa số chung trước khi thế.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Thế trực tiếp các giá trị của a, b, x, y vào biểu thức A, ta có:

\(A = \frac{1}{2}.\left( { – \frac{3}{5}} \right) + \frac{1}{2}.\frac{2}{7} + \frac{1}{2}.\left( { – \frac{3}{5}} \right) + \frac{1}{2}.\frac{2}{7} – \left( { – \frac{3}{5}} \right) – \frac{2}{7}\)

\( \Rightarrow A =  – \frac{3}{{10}} + \frac{1}{7} – \frac{3}{{10}} + \frac{1}{7} + \frac{3}{5} – \frac{2}{7}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A =  – \frac{3}{{10}} – \frac{3}{{10}} + \frac{3}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} – \frac{2}{7} = \frac{{ – 3 – 3 + 6}}{{10}} + 0\\ \Rightarrow A = 0\end{array}\)

Câu b:

Ta đặt thừa số chung trước khi thay thế các giá trị bằng số:

\(A = {\rm{ax}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{by}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{bx}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{ay}}\,\,{\rm{ – }}\,\,{\rm{x}}\,\,{\rm{ – }}\,\,{\rm{y}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {\rm{ax}}\,\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{ay}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{bx}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{by}}\,\,{\rm{ – }}\,\,{\rm{(x + y)}}\\ \Rightarrow A = a(x + y) + b(x + y) – (x + y)\\ \Rightarrow A = (x + y)(a + b – 1)\end{array}\)

Thế các giá trị bằng số vào kết quả này, ta có:

\(A = \left( { – \frac{3}{5} + \frac{2}{7}} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1} \right) = \left( { – \frac{3}{5} + \frac{2}{7}} \right).0\)

\( \Rightarrow A = 0.\)

Chú ý:

Khi giải các bài tập về tính toán giá trị biểu thức ta nên thực hiện các phép biến đổi (nếu có thể):

– Rút gọn

– Đặt thừa số chung.

Và chỉ thay các giá trị bằng số vào kết quả cuối cùng bằng cách này, nhiều khi ta tránh được cá tính toán phức tạp, giảm bớt được công sức và nhất là tránh được nhầm lẫn.


Ví dụ 7:

Chứng minh các bất đẳng thức:

a. \((a + b)(a + b) = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\((a – b)(a – b) = {a^2} – 2ab + {b^2}\)

\((a – b)(a + b) = {a^2} – {b^2}\)

b. \((x + y)(x + z) = {x^2} + (y + z)x + yz.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\((a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)\,\, = {a^2} + ab + ba + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}.\)

\((a – b)(a – b) = a(a – b) – b(a – b) = {a^2} – ab – ba + {b^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\)

\((a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b) = {a^2} + ab – ba – {b^2} = {a^2} – {b^2}.\)

Câu b:

\((x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) = {x^2} + xz + {\rm{yx}} + yz = {x^2} + x(y + z) + yz.\)

Bài tập minh họa

Bài 1:

Thực hiện các phép nhân:

\(\frac{2}{5}.\left( {\frac{{ – 15}}{4}} \right); – 2\frac{2}{5}.\left( {\frac{{ – 9}}{{11}}} \right); – 3,2.\frac{5}{{72}};\frac{{1995}}{{61}}.0\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{5}.\left( {\frac{{ – 15}}{4}} \right) = \frac{{2.( – 15)}}{{5.4}} = \frac{{ – 3}}{2}\\ – 2\frac{2}{5}.\left( {\frac{{ – 9}}{{11}}} \right) = \frac{{ – 11}}{5}.\frac{9}{{11}} = \frac{9}{5}\\ – 3,2.\frac{5}{{72}} = \frac{{ – 32}}{{10}}.\frac{5}{{72}} = \frac{{ – 2}}{9}\\\frac{{1995}}{{61}}.0 = 0\end{array}\)


Bài 2:

Tính

a. \(\left( {2.\frac{1}{4} – 1.\frac{1}{3}} \right).\left( {2.\frac{1}{3} – 1.\frac{1}{4}} \right)\) .

b. \(\left( {\frac{{17}}{5} + \frac{3}{4}} \right).\left( {\frac{{ – 1}}{2} + \frac{{ – 4}}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\left( {2.\frac{1}{4} – 1.\frac{1}{3}} \right).\left( {2.\frac{1}{3} – 1.\frac{1}{4}} \right) = \left( {\frac{9}{4} – \frac{4}{3}} \right)\left( {\frac{7}{3} – \frac{4}{7}} \right) = \frac{{27 – 16}}{{12}}.\frac{{28 – 15}}{{12}} = \frac{{11}}{{12}}.\frac{{13}}{{12}} = \frac{{143}}{{144}}\).

Câu b:

\(\left( {\frac{{17}}{5} + \frac{3}{4}} \right).\left( {\frac{{ – 1}}{2} + \frac{{ – 4}}{3}} \right) = \frac{{68 + 15}}{{20}} – \frac{{ – 3 + ( – 8)}}{6} = \frac{{83}}{{20}}.\frac{{( – 11)}}{6} = \frac{{ – 913}}{{120}}\).


Bài 3: 

Thực hiện phép tính

\(\frac{1}{3}.\left( {\frac{{ – 9}}{8}} \right).\frac{{12}}{{11}}:\left( { – 2\frac{8}{{11}}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta đổi: \( – 2\frac{8}{{11}} = \frac{{ – 30}}{{11}}\)

Ta có: \(\frac{1}{3}.\frac{{ – 9}}{8}.\frac{{12}}{{11}}:\frac{{ – 30}}{{11}} = \frac{1}{3}.\frac{{ – 9}}{8}.\frac{{12}}{{11}}.\frac{{11}}{{ – 30}} = \frac{3}{{20}}\).

Leave a Reply