Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

1. Số hữu tỉ là gì?

  • Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng \(\frac{a}{b}\) với a, b ∈  \( \mathbb{Z}\), b # 0.
  • Tập hợp các số hữu tỷ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\).

VD: Xét các số 2; 0 và 0.5, ta thấy:

\(2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = …\)

\(0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \frac{0}{3} = …\)

\( – 0,5 =  – \frac{1}{2} =  – \frac{2}{4} =  – \frac{3}{6} = …\)

Vậy các số 2, 0, -0.5 là các số hữu tỉ.

Nhận xét:  \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\).

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Để biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) (a, b ∈  \( \mathbb{Z}\), b > 0) trên trục số ta làm như sau:

  • Chia đoạn đơn vi [0;1] trên trục số thành b phần bằng nhau, lấy 1 đoạn đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng \(\frac {1}{b}\) đơn vị cũ.
  • Nếu a>0 thì số \(\frac {a}{b}\) được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm 0 một đoạn bằng \(\left |a \right |\) lần đơn vị mới.
  • Nếu a<0 thì số \(\frac {a}{b}\) được biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm 0 một đoạn bằng \(\left |a \right |\) lần đơn vị mới.
  • Trê trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

3. So sánh số hữu tỉ

  • Để so sánh hai số hữu tỉ x,y ta làm như sau:
    • Viết x,y dưới dạng phân số cùng mẫu dương.
    • So sánh các tử là số nguyên a và b.

Nếu a> b thì x > y.

Nếu a = b thì x=y.

Nếu a < b thì x < y.

4. Chú ý

  • Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.
  • Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.
  • Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm.

Bài tập minh họa

Bài 1:

Với ba chữ số 1, hãy biểu diễn số hữu tỉ âm nhỏ nhất, số hữu tỉ âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Số hữu tỉ âm nhỏ nhất -111.

Số hữu tỉ âm lớn nhất \( – \frac{1}{{11}}\).


Bài 2:

So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất:

a. \(\frac{{ – 1}}{3}\) và \(\frac{1}{{100}}\)                b. \(\frac{{ – 231}}{{232}}\) và \(\frac{{1321}}{{1320}}\)

c. \(\frac{{ – 13}}{{38}}\) và \(\frac{{29}}{{ – 88}}\)             d. \(\frac{{ – 27}}{{29}}\) và \(\frac{{ – 272727}}{{292929}}\)

Hướng dẫn giải:

a. \(\frac{{ – 1}}{3} < 0 < \frac{1}{{100}} \Rightarrow \frac{{ – 1}}{3} < \frac{1}{{100}}\).

b.   \(\frac{{231}}{{232}} < 1 < \frac{{1321}}{{1320}} \Rightarrow \frac{{ – 231}}{{232}} > \frac{{ – 1321}}{{1320}}\).

c. \(\frac{{13}}{{38}} > \frac{{13}}{{39}} = \frac{1}{3} = \frac{{29}}{{87}} > \frac{{29}}{{88}} \Rightarrow \frac{{ – 13}}{{38}} < \frac{{29}}{{ – 88}}\).

d. \(\frac{{ – 27}}{{29}} = \frac{{ – 27.10101}}{{29.10101}} = \frac{{ – 272727}}{{292929}}\) và \(\frac{{ – 272727}}{{292929}}\).


Bài 3:

Cho hai số nguyên a và b trong đó a < b và b > 0. Chứng minh:  \(\frac{a}{b} < \frac{{a + 1}}{{b + 1}}\).

Hương dẫn giải:

Ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a(b + 1)}}{{b(b + 1)}} = \frac{{ab + a}}{{b(a + 1)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,b > 0,b + 1 > 0\).

\(\frac{{a + 1}}{{b + 1}} = \frac{{b(a + 1)}}{{b(b + 1)}} = \frac{{ab + b}}{{b(b + 1)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,b > 0\).

Mà a < b nên suy ra ab+ a < ab +b.

Vậy \(\frac{a}{b} < \frac{{a + 1}}{{b + 1}}\).

Leave a Reply