Bài tập Tính tích phân bằng phương pháp Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc
Phương pháp đổi biến số hàm vô tỉ quen thuộc
– Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
– Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
– Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Bài tập trắc nghiệm tính tích phân hàm vô tỉ có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) $I=\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{3+\sqrt{2x+1}}}.$ b) $I=\int\limits_{0}^{\ln 3}{\frac{dx}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}}.$ c) $I=\int\limits_{1}^{9}{x.\sqrt[3]{1-x}}dx.$ d) $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}}dx.$ |
Lời giải chi tiết
Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.
- a) Đặt $t=\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=2x+1\Leftrightarrow dx=tdt.$ Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=1 \\ x=4\Rightarrow t=3 \\\end{matrix} \right..$
Khi đó $I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{t}{3+t}dt=}\int\limits_{1}^{3}{\left( 1-\frac{3}{t+3} \right)dt=}\left( t-3\ln \left| t+3 \right| \right)\left| \begin{matrix} ^{3} \\ _{1} \\\end{matrix} \right.=3-3.\ln 6-1+3.\ln 4=2+3.\ln \frac{2}{3}.$
- b) Đặt $t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}+1\Leftrightarrow 2tdt={{e}^{x}}dx\Leftrightarrow dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt.$
Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=\sqrt{2} \\ x=\ln 3\Rightarrow t=2 \\\end{matrix} \right.,$ khi đó $I=2\int\limits_{\sqrt{2}}^{2}{\frac{dt}{{{t}^{2}}-1}=}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|\left| \begin{matrix} ^{2} \\ _{\sqrt{2}} \\\end{matrix} \right.=-\ln 3\left( 3-2\sqrt{2} \right).$
- c) Đặt $t=\sqrt[3]{1-x}\Leftrightarrow {{t}^{3}}=1-x\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}dt=-dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=1\Rightarrow t=0\text{ } \\ x=9\Rightarrow t=-2 \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{-2}{\left( 1-{{t}^{3}} \right)t\left( -3{{t}^{2}} \right)dt=}\int\limits_{0}^{-2}{\left( {{t}^{6}}-{{t}^{3}} \right)dt=}3\left( \frac{{{t}^{7}}}{7}-\frac{{{t}^{4}}}{4} \right)\left| \begin{matrix} ^{-2} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{-468}{7}.$
- d) Đặt $x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt\left( t\in \left[ 0;\pi \right] \right).$ Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=0\text{ } \\ x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6} \\\end{matrix} \right..$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{4\cos t}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}}dt=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{4\cos t}{2\cos t}dt=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{dt=}2t\left| \begin{matrix} ^{\frac{\pi }{3}} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{\pi }{3}.$
| Bài tập 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho $\int\limits_{16}^{55}{\frac{dx}{x\sqrt{x+9}}}=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 11$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
A. $a-b=-c.$ B. $a+b=c.$ C. $a+b=3c.$ D. $a-b=-3c.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sqrt{x+9}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+9\Rightarrow 2tdt=dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=16\Rightarrow t=5\text{ } \\ x=55\Rightarrow t=8 \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $I=\int\limits_{5}^{8}{\frac{2tdt}{\left( {{t}^{2}}-9 \right)t}=}\int\limits_{5}^{8}{\frac{2dt}{\left( t-3 \right)\left( t+3 \right)}=}\frac{2}{6}\ln \left| \frac{t-3}{t+3} \right|\left| \begin{matrix} ^{8} \\ _{5} \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{11}-\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}=\frac{2}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\ln 5-\frac{1}{3}\ln 11$
Do đó $a=\frac{2}{3};b=\frac{1}{3};c=-\frac{1}{3}\Rightarrow a-b=-c.$ Chọn A.
| Bài tập 3: Cho $I=\int\limits_{2}^{6}{\frac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}}}=a\ln 3+b\ln 2+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ, tính tổng $A=a+4b+12c.$
A. $A=-2.$ B. $A=-4.$ C. $A=4.$ D. $A=2.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sqrt{4x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=4x+1\Rightarrow tdt=2dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=6\Rightarrow t=5 \\ x=2\Rightarrow t=3 \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $I=\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{5}{\frac{tdt}{\left( \frac{{{t}^{2}}+1}{2} \right)+t}}dt=\int\limits_{3}^{5}{\frac{tdt}{{{(t+1)}^{2}}}=\int\limits_{3}^{5}{\left( \frac{1}{t+1}-\frac{1}{{{(t+1)}^{2}}} \right)dt=}}\left( \ln \left| t+1 \right|+\frac{1}{t+1} \right)\left| \begin{matrix} ^{5} \\ _{3} \\\end{matrix} \right.=\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{12}$
$=\ln 3-\ln 2-\frac{1}{12}\Rightarrow a=1;b=-1;c=\frac{-1}{12}$
Do đó $A=a+4b+12c=1-4-1=-4.$ Chọn B.
Trả lời