1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số
1.2. Các dạng nguyên hàm từng phần và cách chọn u, dv
1.3. Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép đổi biến số lượng giác hóa
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập 1
Tìm các nguyên hàm sau:
Tính các tích phân sau:
a) \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)
b) \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 – {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Hướng dẫn giải
a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(I_2=\int_{1}^{2}lnxd(x^2)=(x^2lnx)\bigg|^2_1-\int_{1}^{2}xdx=4ln2- \frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=4ln2-\frac{3}{2}.\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)
b) Ta tách tích phân I như sau: \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\(I_2=\int_{0}^{ln2}t^2dt=\frac{t^3}{3}\bigg |^{ln2}_0=\frac{ln^32}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 – {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = – \sin tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I = – \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 – {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} – 1} \right)dt} = \left. {\left( {\tan t – t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 – \frac{\pi }{4}. \end{array}\)
2.2. Bài tập 2
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\).
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).
Hướng dẫn giải
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} – 5x – 2} \right)} \,dx = {x^3} – \frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + C.\)
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)
Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Khi đó: \(J = \int\limits {\left( {5{t^2} – t + 2} \right)} \,dt = \frac{{5{t^3}}}{3} – \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C = \frac{5}{3}{\sin ^3}x – \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.\)
2.3. Bài tập 3
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 – 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
Hướng dẫn giải
Thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 – 3x} } \right)}^2}}}}\)
Đặt:\(t = \sqrt {4 – 3x} \Rightarrow dt = – \frac{3}{{2\sqrt {4 – 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = – \frac{2}{3}tdt\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} – \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} – 1} \right). \end{array}\)
2.4. Bài tập 4
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
Hướng dẫn giải
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\)
b) \(f(x)=sin4xcos^22x\)
c) \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\)
d) \(f(x)=(e^x-1)^3\)
Câu 2: Tính:
a) \(\int (2-x)sinxdx\)
b) \(\frac{\int (x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\)
c) \(\int \frac{e^{3x+1}}{e^x+1}dx\)
d) \(\int \frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\)
e) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\)
g) \(\int \frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\)
Câu 3: Tính
a) \(\int_{3}^{0}\frac{x}{\sqrt{1+x}}dx\)
b) \(\int_{1}^{64} \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx\)
c) \(\int_{0}^{2} x^2.e^{3x}dx\)
d) \(\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+sin2x}dx\)
Câu 4: Tính
a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos2xsin^2xdx\)
b) \(\int_{-1}^{1}\left | 2^2-2^{-x} \right |dx\)
c) \(\int_{-1}^{2} \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{x^2}dx\)
d) \(\int_{-1}^{\frac{\pi }{2}} (sinx+cosx)^2dx\)
e) \(\int_{-1}^{\pi } (x+sinx)^2dx\)
Câu 5: Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2(1-x)\)
a) Tính diện tích hình D
b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Biết \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}.\) Tính tổng a + b.
A. a+b=2
B. a+b=3
C. a+b=4
D. a+b=5
Câu 2: Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} – 1} dx} .\)
A. \(\frac{1}{2}\int_1^2 {t\sqrt {t – 1} dt}\)
B. \(\frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t – 1} dt}\)
C. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt}\)
D. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx}\)
Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho biểu thức \(P = n\ln n – \int_1^n {\ln xdx}\) có giá trị không vượt quá 2017.
A. 2017
B. 2018
C. 4034
D. 4036
Câu 4: Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x\)
B. \(F(x) = – 2{\cos ^2}x\)
C. \(F(x) = – 1 – \cos 2x\)
D. \(F(x) = – 1 – 2\cos x\sin x\)
Câu 5: Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = – 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\)
A. \(a = – 2;b = – 8\)
B. \(a = 2;b =8\)
C. \(a =8;b =2\)
D. \(a =-8;b =-2\)
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số nội dung chính như sau:
- Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K, phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số.
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
- Nắm được các phương pháp tính nguyên hàm.
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm.