1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Công thức mũ và lũy thừa
Cho a và b>0, m và n là những số thực tùy ý, ta có các công thức mũ và lũy thừa sau:
1.2. Công thức lôgarit
Cho \(a0\) và \(x,y>0,\) ta có các công thức sau:
Công thức đổi cơ số:
1.3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
1.4. Phương trình và bất phương trình mũ
Các phương pháp giải:
– Phương pháp đưa về cùng cơ số.
– Phương pháp lôgarit hóa.
– Phương pháp đặt ẩn phụ.
– Phương pháp hàm số.
1.5. Phương trình và bất phương trình lôgarit
Các phương pháp giải
– Phương pháp đưa về cùng cơ số
– Phương pháp mũ hóa.
– Phương pháp đặt ẩn phụ.
– Phương pháp hàm số.
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập 1
Giải phương trình \(\log_8\frac{8}{x^2}=3\log_8^2x.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{\log _8}\frac{8}{{{x^2}}} \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0
\(\log_8\frac{8}{x^2}=3\log_8^2x\Leftrightarrow \log_88 -\log_8x^2=3.\log_8^2x\)
\(\Leftrightarrow 3\log_8^2x+2\log_8x^2-1=0\)
Đặt \(t=\log_8x\), phương trình trở thành: \(3{t^2} + 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 1\\ t = \frac{1}{3} \end{array} \right.\)
Với: \(t=-1\Leftrightarrow log_8x=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\)
Với: \(t=\frac{1}{3}\Leftrightarrow log_8x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=2\)
Vậy tập nghiệm phương trình là: \(\left \{ \frac{1}{8};2 \right \}\).
2.2. Bài tập 2
Giải phương trình \(27^x-5.3^{2-3x}=4.\)
Hướng dẫn giải
\(27^x-5.3^{2-3x}=4\Leftrightarrow 27^x-\frac{45}{27^x}=4\Leftrightarrow (27^x)^2-4.27^x-45=0\)
Đặt: \(t=27^x(t>0)\) ta được \(t^2-4t-45=0\)\(\Leftrightarrow t=9\) (Do t>0).
\(\Rightarrow 3^{3x}=3^2\Leftrightarrow 3x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\frac{2}{3}\).
2.3. Bài tập 3
Giải bất phương trình \(4^x-3^x>1.\)
Hướng dẫn giải
\(4^x-3^x>1\Leftrightarrow 4^x>3^x+1\)\(\Leftrightarrow 1>(\frac{3}{4})^x+(\frac{1}{4})^x\)
Với \(x\leq 1\) ta có: \(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{3}{4} \right )^x\geqslant \frac{3}{4}\\ \\ \left ( \frac{1}{4} \right )^x\geqslant \frac{1}{4} \end{matrix}\right\}VP\geqslant 1\) Không thỏa mãn.
Với \(x>1\) ta có: \(\left.\begin{matrix} (\frac{3}{4})^x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: \(S=(1;+\infty ).\)
2.4. Bài tập 4
Cho a,b,c>0; a,b,c\(\neq\)1 thỏa mãn ac = b2. CMR: \(\log_ab+\log_cb=2\log_ab.\log_cb.\)
Hướng dẫn giải
\(ac=b^2\Rightarrow \log_b\ a+\log_b\ c=2\)\(\Rightarrow \frac{1}{\log_a \ b}+\frac{1}{\log_c \ b}=2\)
\(\Rightarrow \frac{\log_c \ b +\log_a \ b}{\log_a \ b .\log_c \ b}=2\)\(\Rightarrow \log_c \ b +\log_a \ b = 2\log_a \ b . \log_c \ b\).
2.5. Bài tập 5
Giải bất phương trình: \(\log_{0,5}x+2\log_{0,25}(x-1)+\log_26\geq 0.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x> 1 (*).
Khi đó ta có:
\(\log_{0,5}x+2\log_{0,25}(x-1)+\log_26\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \log_2x-\log_2(x-1)+\log_26\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \log_2[x(x-1)]\leq \log_26\Leftrightarrow x(x-1)\leq 6\Leftrightarrow x^2-x-6\leq 0\)
\(\Leftrightarrow -2\leq x\leq 3\).
Kết hợp điều kiện (*) ta được \(1
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S=(1;3].
2.6. Bài tập 6
Cho \(\log_{3}5=a\). Tính \(\log_{75}45\) theo a.
Hướng dẫn giải
\(\log_{75}45=\frac{\log_{3}45}{\log_{3}75}=\frac{\log_{3}(3^{2}.5)}{\log_{3}(3.5^{2})}\)\(=\frac{log_{3}3^{2}+log_{3}5}{log_{3}3+log_{3}5^{2}}=\frac{2+log_{3}5}{1+2log_{3}5}\)\(=\frac{2+a}{1+2a}\).
2.7. Bài tập 7
Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức \(T=A(1+r)^n\), trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là số kỳ hạn gửi. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
Hướng dẫn giải
Sau n năm số tiền thu được là \(T=A(1+0,068)^n\)
Để T = 2A thì phải có \((1,068)^n=2 \ \ (hay \ (1+6,8\%)^n=2)\)
\(\Leftrightarrow n=log_{1,068}.2\approx 10,54\)
Vậy muốn thu được gấp đôi số tiền ban đầu, người đó phải gửi 11 năm.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm tập xác định của các hàm số
a) \(y=\frac{1}{3^x-3}\)
b) \(y=log\frac{x-1}{2x-3}\)
c) \(y=log\sqrt{x^2-x-12}\)
d) \(y=\sqrt{25^x-5^x}\)
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) \(y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}\)
b) \(y = \sqrt[3]{{{{(3x – 2)}^2}}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)\)
c) \(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x – 7}}}}\)
d) \(y = 3{x^{ – 3}} – {\log _3}x\)
e) \(y = (3{x^2} – 2){\log _2}x\)
Câu 3: Giải các phương trình sau :
a) \({9^x} – {3^x} – 6 = 0\)
b) \({e^{2x}} – {3^{ex}} – 4 + 12{e^{ – x}} = 0\)
c) \({3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} – \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}\)
d) \({2^{{x^2} – 1}} – 3{x^2} = {3^{{x^2} – 1}} – {2^{{x^2} + 2}}\)
Câu 4: Giải các phương trình sau
a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)
b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)
d) \(lo{g_7}\left( {x – 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)
e) \(log_3x+log_{\sqrt{3}}x+log_\frac{1}{3}x=6\)
Câu 5: Giải các bất phương trình mũ sau :
a) \({(8,4)^{\frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}}
b) \({2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)
c) \(\frac{{{4^x} – {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 – x}}}}
d) \(\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} – 1}}\)
Câu 6: Giải các bất phương trình lôgarit sau :
a) \(\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x – 1}}
b) \(\log _{0,2}^2x – {\log _{0,2}}x – 6 \le 0\)
c) \(\log ({x^2} – x – 2)
d) \(\ln |x – 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giải phương trình \({9^{\sqrt {x – 1} }} = {e^{\ln 81}}.\)
A. \(x=5\)
B. \(x=4\)
C. \(x=6\)
D. \(x=17\)
Câu 2: Tập giá trị của tham số m để phương trình \({5.16^x} – {2.81^x} = m{.36^x}\) có đúng một nghiệm?
A. \(m \in \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \mathbb{R}\)
D. \(m \in \emptyset \)
Câu 3: Cho hàm số \(y = {x^2}{e^x}.\) Giải bất phương trình \(y’
A. \(x \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(x \in (-2;0)\)
C. \(x \in (0;2)\)
D. \(x \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 4: Cho \(\log 2 = a;log3 = b.\) Tính \({\log_6}90\) theo a, b.
A. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b – 1}}{{a + b}}\)
B. \(lo{g_6}90 = \frac{{b+1}}{{a + b}}\)
C. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b +1}}{{a + b}}\)
D. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b + 1}}{{a +2 b}}\)
Câu 5: Tìm m để phương trình \({3^{{x^2} – 4}}{.5^{x + m}} = 3\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn phương trình \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = {\log _3}5\)
A. \(m = 4{\log _5}3\)
B. \(m = 5{\log _5}3\)
C. \(m = 2\)
D. \(m = -2\)
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em học sinh:
- Hiểu được các khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên của số thực, lũy thừa với số mũ hữu tỉ không nguyên của và lũy thừa của một số thực dương.
- Biết các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số mũ thực.
- Biết dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa.