1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Trong trường hợp \(a
1.2. Tính chất của tích phân
Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.
- \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
- \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)
1.3. Một số phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\) Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)
Các phương pháp đổi biến số thường gặp:
- Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).
- Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).
b) Phương pháp tích phân từng phần
Định lí: Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Dạng 1: Bài tập áp dụng công thức tích phân cơ bản
Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^3}}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)
Hướng dẫn giải
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)
\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) – \left( {\ln 1 + 2} \right) = – 1 + \ln 2\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
2.2. Dạng 2: Bài tập áp dụng phương pháp đổi biến số
Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)
b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)
c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}}\)
Hướng dẫn giải
a) Đặt: \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} – 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t – 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} – {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)
b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} – 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} – 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)
c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)
Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}\)
2.3. Dạng 3: Bài tập áp dụng tích phân từng phần
Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} – 1)\ln xdx}\)
Hướng dẫn giải
a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)
\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} – \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).
b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} – 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} – 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)
\(I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} – 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 – \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} – \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} – x} \right)} \right|_1^2\)\(= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}\).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)
c) \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \)
d) \(\int_0^2 {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx}\)
Câu 2: Tính các tích phân sau:
a) \(\int \limits_0^1 \left( {{y^3} + 3{y^2} – 2} \right)dy\)
b) \(\int \limits_1^4 \left( {t + \frac{1}{{\sqrt t }} – \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt\)
c) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {2\cos x – \sin 2x} \right)dx\)
d) \(\int \limits_0^1 {\left( {{3^s} – {2^s}} \right)^2}ds\)
Câu 3: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a) \(\int \limits_1^2 x{\left( {1 – x} \right)^5}dx\) (đặt t = 1−x)
b) \(\int \limits_0^{\ln 2} \sqrt {{e^x} – 1} dx\) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} – 1} \))
c) \(\int \limits_1^9 x\sqrt[3]{{1 – x}}dx\) (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 – x}}\))
d) \(\int \limits_0^\pi \frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx\) (đặt \(x = \pi – t\))
Câu 4: Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:
a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt u= x+1)
b) \(\int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} dx} \) (Đặt x = sint )
c) \(\int_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x.{e^x}}}dx} \) (Đặt u = 1+x.ex)
d) \(\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} dx\) (Đặt x= asint)
Câu 5: Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)
b) \(\int_1^e {{x^2}\ln xdx} \)
c) \(\int_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} \)
d) \(\int_0^1 {\left( {{x^2} – 2x + 1} \right){e^{ – x}}} dx\)
3.2. Bài tập tắc nghiệm
Câu 1: Tính \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với \(a
A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = -2\)
B. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 7\)
C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 0\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3\)
Câu 2: Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x – 1}}{{{x^2} – {{\ln }^2}x}}dx,}\) đặt \(t = \frac{{\ln x}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\left( {\frac{1}{{t – 1}} – \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt}\)
B. \(I = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{e – 1}}{{e + 1}}} \right)\)
C. \(I =\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{1 – {t^2}}}dt}\)
D. \(I =\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{(t – 1)(t + 1)}}dt}.\)
Câu 3: Tích phân \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} – 7x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \) có giá trị bằng?
A. \({e^3} – \frac{7}{2}{e^2} + \ln \left( {1 + e} \right)\)
B. \({e^2} – 7e + \frac{1}{{e + 1}}\)
C. \({e^3} – \frac{7}{2}{e^2} – \ln \left( {1 + e} \right)\)
D. \({e^3} – 7{e^2} – \ln \left( {1 + e} \right)\)
Câu 4: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos \left( {a – x} \right)dx} \)
A. \(I = \left( {1 – \frac{\pi }{2}} \right){\rm{cos}}a + \sin a\)
B. \(I = \left( {1 – \frac{\pi }{2}} \right){\rm{cos}}a – \sin a\)
C. \(I = \left( {\frac{\pi }{2} – 1} \right){\rm{cos}}a + \sin a\)
D. \(I = \left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right){\rm{cos}}a – \sin a\)
Câu 5: Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) – 3} \right]dx.}\)
A. I=2
B. I=-1
C. I=6
D. I=8
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được các nội dung chính sau:
- Khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần).
- Hiểu định nghĩa và phân biệt được nguyên hàm và họ các nguyên hàm của hàm số.