• Toán 12
  • Toán 11
  • Toán 10
  • Đề thi Toán
  • Toán 9
  • Toán 8
  • Toán 7
  • Toán 6
  • Menu
  • Bỏ qua primary navigation
  • Skip to secondary navigation
  • Skip to main content
  • Bỏ qua primary sidebar

Học Môn Toán

Học toán trực tuyến, trắc nghiệm môn toán tiểu học, trung học cơ sở và trung học phổ thông

Header Right

  • Toán 12
  • Toán 11
  • Toán 10
  • Đề thi Toán
  • Toán 9
  • Toán 8
  • Toán 7
  • Toán 6
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 12 / Học Toán 12 Chương 3 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Học Toán 12 Chương 3 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

01/03/2021 //  by admin




1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tọa độ của điểm và của vectơ

a) Hệ tọa độ

Trong không gian, cho ba trục xOx’, yOy’, zOz’ vuông góc với nhau từng đôi một.

Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx’, yOy’, zOz’ với: \(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)

Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.

b) Tọa độ của vectơ trong không gian 

Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: \(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\)\(\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)

Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).

c) Tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)

Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ \(\vec{u}=(x;y;z)\) và \(\vec{u’}=(x’;y’; z’)\):

\(\vec{u}+\vec{u’}=(x+x’;y+y’;z+ z’)\)

\(\vec{u}-\vec{u’}=(x-x’;y-y’;z- z’)\)

\(k\vec{u}=(kx;ky;kz)\)

\(\vec{u}=u’\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x’\\ y=y’\\ z=z’ \end{matrix}\right.\)

\(\vec{u}=\vec{u’}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=kx’\\ y=ky’\\ z=kz’ \end{matrix}\right.\)

\(\left | \vec{u} \right |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Cho hai điểm \(A(x_A,y_A,z_A)\); \(B(x_B,y_B,z_B)\):

\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)

\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)

\(\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}(k\neq 1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A-k.x_B}{1-k}\\ \\ y_I=\frac{y_A-k.y_B}{1-k}\\ \\ z_I=\frac{z_A-k.z_B}{1-k} \end{matrix}\right.\)

Đặc biệt I là trung điểm AB thì: \(\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ \\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ \\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2} \end{matrix}\right.\) 

G là trọng tâm \(\Delta ABC\): \(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{matrix}\right.\)

G là trọng tâm của tứ diện ABCD: \(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} \end{matrix}\right.\)

​1.3. Tích vô hướng

Công thức tính tích vô hướng: \(\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a},\vec{b})\).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: \(\left.\begin{matrix} \vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\\ \vec{b}=(x_2;y_2;z_2) \end{matrix}\right\} \vec{a}.\vec{b} = x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2\).

Công thức tính góc giữa hai vectơ: \(cos(\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\)

1.4. Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\)

Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng \(x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\), điều kiện \(A^2+B^2+C^2-D> 0\).

Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} – D} .\)

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Bài tập 1

Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:

a) Trọng tâm tam giác ABC.

b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.

c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Hướng dẫn giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{13}}{3}\\ {y_G} = \frac{8}{3}\\ {z_G} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\) 

b) Gọi \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\)  

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 1)\\ \overrightarrow {DC} = (9 – {x_D};6 – {y_D};4 – {z_D}) \end{array}\)

Để ABCD là hình bình hành thì:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)

Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} – 2 = 9 – {x_D}\\ 2 = 6 – {y_D}\\ – 1 = 4 – {z_D} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 11\\ {y_D} = 4\\ {z_D} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow D(11;4;5)\)   

c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:

I là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\\ {y_I} = \frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I(6,3,4)\).  

2.2. Bài tập 2

Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh \(A(0;0;0);\,B\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);C(a;0;0);S(0;0;a)\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; – a} \right).\)

\(\cos \left( {AB,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {\left( {AB,SC} \right)} \approx {69^0}18′.\)

2.3. Bài tập 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm AB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = – 1\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = – 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I( – 1; – 1;1)\)

Ta có: \(IA = IB = 1.\)

Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:

\({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 1)^2} = 1.\)

2.4. Bài tập 4

Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình mặt cầu là: \(\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2{\rm{ax}}\,{\rm{ – }}\,{\rm{2by}}\,{\rm{ – }}\,{\rm{2cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\,\left( {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + {b^2} + {c^2} – d > 0} \right)\)

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a – 2b + d + 2 = 0\\ -6a – 2b – 4c + d + 14 = 0\\ 2a – 2b – 4c + d + 6 = 0\\ -2a + 2b – 4c + d + 6 = 0 \end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow a = b = 1;\,c = 2;d = 2\)

Kết luận: Phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.\) 

3. Luyện tập 

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Trong không gian Oxyz cho ba vecto \(\overrightarrow a  = (2; – 1;2),\overrightarrow b  = (3;0;1),\overrightarrow c  = ( – 4;1; – 1)\). Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow m \) và \(\overrightarrow n \) biết rằng:

a) \(\overrightarrow m  = 3\overrightarrow a  – 2\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

b) \(\overrightarrow n  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + 4\overrightarrow c \)

Câu 2: Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0 ; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng  tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Câu 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \(\small x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)

b) \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)

Câu 4: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Câu 5: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overline {BC} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; – 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { – 4;1; – 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a – 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)

A.  \(\overrightarrow m = \left( { – 4;2;3} \right)\)

B.  \(\overrightarrow m = \left( { – 4;-2;3} \right)\)

C.  \(\overrightarrow m = \left( { – 4;-2;-3} \right)\)

D.  \(\overrightarrow m = \left( { – 4;2;-3} \right)\)

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;3;5} \right);C\left( { – 1;2;6} \right)\). Xác định tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {MC} = 0\).

A.  \(M\left( {7;3;1} \right)\)

B. \(M\left( { – 7; – 3; – 1} \right)\)

C.  \(M\left( {7; – 3;1} \right)\)

D.  \(M\left( {7; – 3; – 1} \right)\)

Câu 3: Cho \(\overrightarrow a = \left( {0;0;1} \right);\,\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\,\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.  \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\)

B. \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \sqrt {2/3}\)

C.  \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|\)

D. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0\)

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – m = 0\) có bán kính R = 5. Tìm giá trị của m.

A. m = -4

B. m = -16

C.  m = 16

D. m = -4

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; – 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)\)

A.  \({x^2} + {y^2} + {z^2} – x + 2y – 4z = 0\)

B.  \({x^2} + {y^2} + {z^2} +x – 2y + 4z = 0\)

C.  \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 8z = 0\)

D.  \({x^2} + {y^2} + {z^2} +2x -4y +8z = 0\)

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em nắm được một số nội dung như sau:

  • Hiểu được định nghĩa của hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian và biết xác định tọa độ của 1 điểm, của vectơ các phép trái của nó.
  • Biết cách tính tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của véc tơ và khoảng cách giữa hai điểm.
  • Viết được phương trình mặt cầu, tìm được tâm và bán kính khi viết phương mặt cầu.




Bài liên quan:

  1. Học Toán 12 Ôn tập chương 3: Phương pháp toạ độ trong không gian
  2. Học Toán 12 Chương 3 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian
  3. Học Toán 12 Chương 3 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Chuyên mục: Toán lớp 12Thẻ: Chương 3 Hình 12

Bài viết trước « Học Toán 12 Ôn tập chương 2: Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
Bài viết sau Học Toán 12 Chương 3 Bài 2: Phương trình mặt phẳng »

Sidebar chính




MỤC LỤC

  • Câu hỏi: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật
  • Câu hỏi: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai hình tròn
  • Câu hỏi: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa
  • Câu hỏi: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây
  • Câu hỏi: Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi kép là 12%/năm
  • Câu hỏi: Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất đó
  • Câu hỏi: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích (12pi )(cm3) và chiều cao là 4cm.
  • Câu hỏi: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6km/h
  • Câu hỏi: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và bán kính đáy là r
  • Câu hỏi: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108({m^3})  nước, có dạng hình hộp chữ nhật
  • Câu hỏi: Một chiếc xe đang chạy với vận tốc 100Km/h thì đạp phanh dừng lại
  • Câu hỏi: Một một chiếc chén hình trụ có chiều cao bằng đường kính quả bóng bàn
  • Câu hỏi: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon
  • Câu hỏi: Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết
  • Câu hỏi: Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905.300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm
  • Câu hỏi: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 3.10^6 met khối
  • Câu hỏi: Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên
  • Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên.
  • Câu hỏi: Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình bên. Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào sau đây:
  • Nghiệm của phương trình (cos x = frac{1}{2}) là:
  • Giới thiệu
  • Bản quyền
  • Sitemap
  • Liên hệ
  • Bảo mật

Môn Toán 2021 - Học toán và Trắc nghiệm Toán online.