1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Bất phương trình mũ
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
– Nếu \(a>1\)
- \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
- \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
– Nếu \(0 {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
b) Phương pháp lôgarit hóa
Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{ }}(1)\)
\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0
f(x)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)
\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0
f(x)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
\(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
\(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
\(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)
Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:
\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)
Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
Dạng 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
Đưa về bất phương trình tích.
Xem ẩn ban đầu như là tham số.
Dạng 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
Đưa về bất phương trình tích.
Xem 1 ẩn là tham số.
d) Phương pháp hàm số
Xét hàm số \(y=a^x\):
Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Nếu \(0
Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
\(f(x)\)đồng biến trên D.
\(g(x)\) nghịch biến trên D.
⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
1.2. Bất phương trình lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
Với \(0 {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x)
f(x) > 0
\end{array} \right.\)
b) Phương pháp mũ hóa
Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0
\(a>1, \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)
\(0
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
Các kiểu đặt ẩn phụ
Dạng 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
Dạng 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
Xem ẩn ban đầu là tham số
Bất phương trình tích
Dạng 3: Đặt nhiều ẩn
d) Phương pháp hàm số
Các nội dung cần nhớ:
Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0
\(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
\(0
Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
– Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
– Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
– Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
- \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
- \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Dạng bài tập bất phương trình mũ
Câu 1: Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0\).
Hướng dẫn giải
\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)
Đặt \(t = {3^x} > 0\).
Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ – 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\)
Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { – 1;1} \right].\)
Câu 2: Giải bất phương trình \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)
Hướng dẫn giải
Chia 2 vế của phương trình cho ta được:
\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)
Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right)
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.
Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x
Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { – \infty ;2} \right).\)
Câu 3: Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}.\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 – 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ – 1}}\)
Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} – 3}} \Leftrightarrow x – 1 \ge {x^2} – 3\)
\(\Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 2\)
Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { – 1;2} \right]\)
2.2. Dạng bài tập bất phương trình lôgarit
Câu 1: Giải bất phương trình \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\)
Hướng dẫn giải
ĐK: \(x>1\)
Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\)
Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\)
\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\)
Mặt khác \(f(2) = 3\)
Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
Câu 2: Giải bất phương trình \(\log _2^2x – 5{\log _2}x – 6 \le 0.\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} – 5t – 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t – 6) \le 0\\ \Leftrightarrow – 1 \le t \le 6 \end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} – 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)
Câu 3: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5.\)
Hướng dẫn giải
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)
\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} – x – \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le – 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Giải các bất phương trình mũ:
a) \(\small 2^{-x^{2}+3x}
b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}\geq \frac{9}{7}\)
c) \(3^{x+2} + 3^{x-1} \leq 28\)
d) \(4^x – 3.2^x + 2 > 0\)
Câu 2: Giải các bất phương trình mũ sau :
a) \({3^{|x – 2|}}
b) \({4^{|x + 1|}} > 16\)
c) \({2^{ – {x^2} + 3x}}
d) \({\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} – 3x}} \ge \frac{9}{7}\)
e) \({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)
Câu 3: Giải các bất phương trình lôgarit:
a) \(\small log_8(4- 2x) \geq 2\)
b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)\)
c) \(log_{{0,2}}x – log_5(x- 2)
d) \(log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0\)
Câu 4: Giải các bất phương trình logarit sau :
a) \({\log _{\frac{1}{3}}}(x – 1) \ge – 2\)
b) \({\log _3}(x – 3) + {\log _3}(x – 5)
c) \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x – 7}}
d) \({\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)
e) \(\frac{1}{{5 – \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}}
Câu 5: Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)
b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} \ge x + 1\)
c) \({\log _{\frac{1}{3}}}x > 3x\)
d) \({\log _2}x \le 6 – x\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({2^{{x^2} – x + 1}} > {4^{x + 1}}.\)
A. \(S = \left( {\frac{{3 – \sqrt {13} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right)\)
B. \(S = \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {13} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
Câu 2: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0\).
A. \(2\leq x\leq 4\)
B. \(x\leq 4\)
C. \(x\geq 2\)
D. \(x \le 2\) hoặc \(x \geq 4\)
Câu 3: Giải bất phương trình \({9^x} – {\log _2}8
A. x>0
B. x
C. x>1
D. x
Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _3}\left( {4x – 3} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \le 2.\)
A. \(S = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left[ {\frac{3}{4};3} \right]\)
C. \(S =\left( {\frac{3}{4};3} \right]\)
D. \(S = \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\)
Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} – 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x – 2} \)
\(> \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\)
A. \(S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)\)
B. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = (3;9)\)
D. \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)\)
4. Kết luận
Qua bài học này giúp học sinh biết được một số nội dung chính như sau
- Nắm được cách giải các bpt mũ, bpt logarit dạng cơ bản, đơn giản.Qua đógiải được các bpt mũ, bpt logarit cơ bản , đơn giản
- Vận dụng thành thạo tính đơn điệu của hàm số mũ ,logarit dể giải các bptmũ, bpt loga rit cơ bản, đơn giản
- Kỹ năng lôgic , biết tư duy mở rộng bài toán.