1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).
Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)
Ví dụ
\(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)
\(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
\(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)
\(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)
\(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)
1.2. Các tính chất của lôgarit
a) Qui tắc tính lôgarit
Cho số thực \(a\) thỏa \(0
– Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)
– Lôgarit của một tích:
- Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)
- Mở rộng với \(x_1,x_2,…, x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2….x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+…+\log_ax_n\)
– Lôgarit của một thương
- Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)
- Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)
– Lôgarit của một lũy thừa:
- Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)
- \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)
b) Công thức đổi cơ số:
Cho số thực \(a\) thỏa \(0
– Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)
Lấy \(0
– Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)
– Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)
c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số
- Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)
- Nếu \(0\log_ay \Leftrightarrow 0\)
- Nếu \(00\)
1.3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
a) Lôgarit thập phân
Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).
b) Lôgarit tự nhiên
Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập 1
Tìm x để:
\(\eqalign{
& a)\,{2^x} = 8 \cr } \)
\(\eqalign{& b)\,{2^x} = {1 \over 4} \cr } \)
\(\eqalign{& c)\,{3^x} = 81 \cr } \)
\(\eqalign{& d)\,{5^x} = {1 \over {125}} \cr} \)
Hướng dẫn giải
a) \(\eqalign{
& \,{2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3 \cr } \)
b) \(\eqalign{& \,{2^x} = {1 \over 4} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{ – 2}} \Leftrightarrow x = – 2 \cr } \)
c) \(\eqalign{& \,{3^x} = 81 \Leftrightarrow {3^x} = {3^4} \Leftrightarrow x = 4 \cr } \)
d) \(\eqalign{& \,{5^x} = {1 \over {125}} \Leftrightarrow {5^x} = {5^{ – 3}} \Leftrightarrow x = – 3 \cr} \)
2.2. Bài tập 2
a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)
b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)
b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a – 1\)
Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a – 1} \right)}}\)
2.3. Bài tập 3
Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)
b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)
b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = – {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = – \left( {\frac{{34}}{{15}} – \frac{3}{4}} \right) = – \frac{{91}}{{60}}\)
2.4. Bài tập 4
Không dùng máy tính, hãy so sánh:
a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)
b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)
c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} {\log _5}\frac{1}{2}\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tính
\(a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\)
\(b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}\)
\(c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\)
Câu 2: Tính:
a) \({{4}^{{{\log }_{2}}3}}\)
b) \({{27}^{{{\log }_{9}}2}}\)
c) \({{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}}\)
d) \({{4}^{{{\log }_{8}}27}}\)
Câu 3: Rút gọn biểu thức:
a) \({{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2;\)
b) \({{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}\).
Câu 4: Tìm x, biết:
\(a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b\)
\(b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b\)
Câu 5: So sánh các cặp số sau:
a) \({{\log }_{3}}5\,\text{và}\,{{\log }_{7}}4;\)
b) \({{\log }_{0,3}}2\,\text{và}\,{{\log }_{5}}3;\)
c) \({{\log }_{2}}10\,\text{và}\,{{\log }_{5}}30\).
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0
A. \(P = \frac{3}{{10}}\)
B. \(P = 4\)
C. \(P = \frac{1}{2}\)
D. \(P = \frac{1}{4}\)
Câu 2: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
A. \(4^{\log_2 3}
B. \(\log_24=\log_4 2\)
C. \(\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3\)
D. \(\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6\)
Câu 3 Rút gọn biểu thức
\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
A. \(A = \frac{{62}}{5}\)
B. \(A = \frac{{16}}{5}\)
C. \(A = \frac{{22}}{5}\)
D. \(A = \frac{{67}}{5}\)
Câu 4: Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b.
A. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}\)
B. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}\)
C. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
D. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{2ab + b}}\)
4. Kết luận
Qua bài học này, giúp các em biết được một số nội dung như sau:
- Biết khái niệm các tính chất của lôgarit
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit