1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hàm số mũ
a) Định nghĩa hàm số mũ
Cho số thực dương \(a\) khác 1
Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).
b) Tính chất hàm số mũ
Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)
Tập giá trị: \((0;+\infty )\)
Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.
c) Đạo hàm của hàm số mũ
Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )’=e^x\)
Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)
Đối với hàm hợp
\(({e^u})’ = u’.{e^u}\)
\(({a^u})’ = {a^u}.\ln a.u’\)
1.2. Hàm số Lôgarit
a) Định nghĩa hàm số Lôgarit
Cho số thực dương \(a\) khác 1.
Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)
b) Tính chất hàm số Lôgarit
Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)
Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)
c) Đạo hàm của hàm số logarit
\(\left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\)
\(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\)
\(\left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x}\)
Đối với hàm hợp
\(\left( {{{\log }_a}u} \right)’ = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}\)
\(\left( {\ln u} \right)’ = \frac{{u’}}{{\ln u}}\)
1.3. Chú ý
– Nếu \(a > 1\) thì \(\ln a > 0\), suy ra (ax)’ > 0,∀x và (logax)’ > 0, ∀x > 0;
do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.
Tương tự, nếu \(0 0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.
– Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành
\( (\ln |x|)’= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0\) và (loga|x|)’ = \(\dfrac{1}{x \ln a}\), ∀x\(\ne\) 0.
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập 1
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = {\log _2}(25 – 4{x^2})\)
b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) – 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)
c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} )\)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: \(25 – 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow – \frac{5}{2}
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { – \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)
b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { – \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > – \frac{2}{3}\\ x \ne – \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { – \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { – \frac{1}{3};0} \right\}\).
2.2. Bài tập 2
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x}\)
b) \(y = {2^{{x^2} – 3x}}\)
c) \(y = \frac{{{2^x} – 1}}{{{5^x}}}\)
d) \(y = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y’ = \left( {2x – 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)
b) \(y = {2^{{x^2} – 3x}} \Rightarrow y’ = (2x – 3){.2^{{x^2} – 3x}}.\ln 2\)
c) \(y = \frac{{{2^x} – 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} – {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y’ = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} – {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)
d) \(y = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)
\(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) – \left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}}\)
2.3. Bài tập 3
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)
b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)
c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)
d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)
Hướng dẫn giải
a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y’ = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)
b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y’ = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x – \ln x} \right) = \frac{{1 – \ln x}}{{{x^2}}}\)
c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y’ = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)
d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)’}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)
2.4. Bài tập 4
Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m – 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m – 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(\Delta = {3^2} – 4.2.(2m – 1) = 17 – 16m > 0 \Leftrightarrow m
Vậy với \(m
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số:
a) \(y=2x{{e}^{x}}+3\sin 2x\)
b) \(y=5{{x}^{2}}-{{2}^{x}}\cos x\)
c) \(y=\dfrac{x+1}{{{3}^{x}}}\)
Câu 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) \(y={{\log }_{2}}\left( 5-2x \right)\)
b) \(y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\)
c) \(y=lo{{g}_{\frac{1}{5}}}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\)
d) \(y={{\log }_{0,4}}\dfrac{3x+2}{1-x}\)
Câu 3: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của mỗi cặp hàm số sau
a) \(y=2^x\) và \(y=8\)
b) \(y=3^x\) và \(y=\dfrac 1 3\)
c) \(y={{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{x}} \) và \(y=\dfrac 1 {16}\)
Câu 4: Từ đồ thị hàm số \(y=3^x\), hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y=3^x-2\)
b) \( y=3^x+2\)
c) \(y=|3^x-2| \)
d) \(y=2-3^x\)
Câu 5: Vẽ đồ thị của các hàm số:
a) \(y=\log x\)
b) \(y={{\log }_{\frac{1}{2}}}x\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?
A. \({\left( {{{\log }_3}x} \right)’} = \frac{1}{{x\ln 3}}\)
B. \({\left( {{2^x}} \right)’} = {2^x}\ln 2\)
C. \({\left( {\ln x} \right)’} = \frac{1}{x}\)
D. \({\left( {{e^{5x}}} \right)’} = {e^{5x}}\)
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \frac{{x – 1}}{{x + 2}}.\)
A. \(y’ = \frac{{ – 3}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
B. \(y’ = \frac{3}{{\left( {x – 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
C. \(y’ = \frac{3}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
D. \(y’ = \frac{{ – 3}}{{\left( {x – 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Câu 3: Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x};\) \(y = \log {\rm{x}};y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\)
Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Câu 4: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\).
A. \(D = \left[ { – 2, – 1} \right].\)
B. \(D = \left( { – \infty , – 2} \right) \cup \left( { – 1, + \infty } \right)\).
C. \(D = \left( { – 2, – 1} \right)\).
D. \(D = \left( { – \infty , – 2} \right] \cup \left[ { – 1, + \infty } \right)\).
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số nội dung chính như sau:
- Biết vận dụng tính chất các hàm mũ, hàm lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ, hàm số lôgarit.
- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
- Tính được đạo hàm các hàm số y = ex, y = lnx