• Toán 12
  • Toán 11
  • Toán 10
  • Đề thi Toán
  • Toán 9
  • Toán 8
  • Toán 7
  • Toán 6
  • Menu
  • Bỏ qua primary navigation
  • Skip to secondary navigation
  • Skip to main content
  • Bỏ qua primary sidebar

Học Môn Toán

Học toán trực tuyến, trắc nghiệm môn toán tiểu học, trung học cơ sở và trung học phổ thông

Header Right

  • Toán 12
  • Toán 11
  • Toán 10
  • Đề thi Toán
  • Toán 9
  • Toán 8
  • Toán 7
  • Toán 6
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 12 / Học Toán 12 Chương 1 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Học Toán 12 Chương 1 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

01/03/2021 //  by admin




1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khái niệm

  • Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 thì f(x1) 2).
  • Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 thì f(x1) > f(x2).

1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K

  • Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
  • Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K

  • Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc k thì f đồng biến trên K.
  • Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.
  • Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0  hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Bài tập minh họa

2.1. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)

Hướng dẫn giải

Xét hàm số: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)

TXĐ: \(D = R\)

\(y’ = 3{x^2} – 6x + 3\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(R\)

2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) đồng biến trên \(R\)

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\)

TXĐ: \(D = R\)

\(y’ = 3{x^2} + 6x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(R\) khi \(y’ \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ‘ \le 0}\\
{a = 1 > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow 9 – 3m

Kết luận: với \(m \ge 3\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 3{x^2} – 8{x^3}\)

b) \(y = 16x + 2{x^2} – {{16} \over 3}{x^3} – {x^4}\)

c) \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x\)

d) \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\)

Câu 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau

a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{x+100}\)

b) \(y=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6}}\)

Câu 3: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau

a) \(y=\dfrac{3-2x}{x+7}\)

b) \(y=\dfrac{1}{(x-5)^2}\)

c) \(y=\dfrac{2x}{x^2-9}\)

Câu 4: Xác định tham số m để hàm số sau

a) \(y=\dfrac{mx-4}{x-m}\) đồng biến trên từng khoảng xác định

b) \(y=-x^3+mx^2-3x+4\) nghịch biến trên \((-\infty; +\infty)\)

Câu 5: Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất \(3(\cos x-1)+2\sin x+6x=0\).

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số \(y = {x^2}(3 – x)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( – \infty ;0)\)

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2; + \infty )\)

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( – \infty ;3)\)

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2)

Câu 2: Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} – 1} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

B. Hàm số đồng biến trên \(( – \infty ; + \infty )\)

C.  Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\)

D.  Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ;0)\)

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} – m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(R\)

\(\begin{array}{l}
A.\;\; – 2 \le m \le 2\\
B.\;\; – 3 \le m \le 3\\
C.\;\;m \ge 3\\
D.\;\;m \le  – 3
\end{array}\)

Câu 4: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1}  – mx – 1\) đồng biến trên khoản \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\)

A. \(\left( { – \infty ;1} \right)\)

B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ { – 1;1} \right]\)

D. \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\)

Câu 5: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {-1; + \infty } \right)\)

A. \(m \in ( – \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)

B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( { – 1;2} \right)\)

D. \(m \in \left[ {1;2} \right)\)

4. Kết luận

Qua bài học sẽ giúp các em nắm được

  • Khái niệm thế nào là hàm số đồng biến, nghịch biến.
  • Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền.
  • Các quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.




Bài liên quan:

  1. Học Toán 12 Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
  2. Học Toán 12 Chương 1 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
  3. Học Toán 12 Chương 1 Bài 4: Đường tiệm cận
  4. Học Toán 12 Chương 1 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
  5. Học Toán 12 Chương 1 Bài 2: Cực trị của hàm số

Chuyên mục: Toán lớp 12Thẻ: Chương 1 Toán 12

Bài viết trước « Toán 1 Chương 4 Bài: Ôn tập Các số đến 100
Bài viết sau Học Toán 12 Chương 1 Bài 2: Cực trị của hàm số »

Sidebar chính




MỤC LỤC

  • Câu hỏi: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật
  • Câu hỏi: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai hình tròn
  • Câu hỏi: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa
  • Câu hỏi: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây
  • Câu hỏi: Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi kép là 12%/năm
  • Câu hỏi: Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất đó
  • Câu hỏi: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích (12pi )(cm3) và chiều cao là 4cm.
  • Câu hỏi: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6km/h
  • Câu hỏi: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và bán kính đáy là r
  • Câu hỏi: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108({m^3})  nước, có dạng hình hộp chữ nhật
  • Câu hỏi: Một chiếc xe đang chạy với vận tốc 100Km/h thì đạp phanh dừng lại
  • Câu hỏi: Một một chiếc chén hình trụ có chiều cao bằng đường kính quả bóng bàn
  • Câu hỏi: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon
  • Câu hỏi: Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết
  • Câu hỏi: Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905.300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm
  • Câu hỏi: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 3.10^6 met khối
  • Câu hỏi: Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên
  • Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên.
  • Câu hỏi: Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình bên. Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào sau đây:
  • Nghiệm của phương trình (cos x = frac{1}{2}) là:
  • Giới thiệu
  • Bản quyền
  • Sitemap
  • Liên hệ
  • Bảo mật

Môn Toán 2021 - Học toán và Trắc nghiệm Toán online.