1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Khái niệm
- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 thì f(x1) 2).
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 thì f(x1) > f(x2).
1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K
- Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
- Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.
1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K
- Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc k thì f đồng biến trên K.
- Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.
- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.
1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
- Bước 1: Tìm tập xác định
- Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Bài tập minh họa
2.1. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)
Hướng dẫn giải
Xét hàm số: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)
TXĐ: \(D = R\)
\(y’ = 3{x^2} – 6x + 3\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên
Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(R\)
2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) đồng biến trên \(R\)
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\)
TXĐ: \(D = R\)
\(y’ = 3{x^2} + 6x + m\)
Hàm số đồng biến trên \(R\) khi \(y’ \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ‘ \le 0}\\
{a = 1 > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow 9 – 3m
Kết luận: với \(m \ge 3\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) \(y = 3{x^2} – 8{x^3}\)
b) \(y = 16x + 2{x^2} – {{16} \over 3}{x^3} – {x^4}\)
c) \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x\)
d) \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\)
Câu 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau
a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{x+100}\)
b) \(y=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6}}\)
Câu 3: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau
a) \(y=\dfrac{3-2x}{x+7}\)
b) \(y=\dfrac{1}{(x-5)^2}\)
c) \(y=\dfrac{2x}{x^2-9}\)
Câu 4: Xác định tham số m để hàm số sau
a) \(y=\dfrac{mx-4}{x-m}\) đồng biến trên từng khoảng xác định
b) \(y=-x^3+mx^2-3x+4\) nghịch biến trên \((-\infty; +\infty)\)
Câu 5: Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất \(3(\cos x-1)+2\sin x+6x=0\).
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số \(y = {x^2}(3 – x)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( – \infty ;0)\)
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2; + \infty )\)
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( – \infty ;3)\)
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2)
Câu 2: Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} – 1} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
B. Hàm số đồng biến trên \(( – \infty ; + \infty )\)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ;0)\)
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} – m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(R\)
\(\begin{array}{l}
A.\;\; – 2 \le m \le 2\\
B.\;\; – 3 \le m \le 3\\
C.\;\;m \ge 3\\
D.\;\;m \le – 3
\end{array}\)
Câu 4: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} – mx – 1\) đồng biến trên khoản \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\)
A. \(\left( { – \infty ;1} \right)\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ { – 1;1} \right]\)
D. \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\)
Câu 5: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {-1; + \infty } \right)\)
A. \(m \in ( – \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)
B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { – 1;2} \right)\)
D. \(m \in \left[ {1;2} \right)\)
4. Kết luận
Qua bài học sẽ giúp các em nắm được
- Khái niệm thế nào là hàm số đồng biến, nghịch biến.
- Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền.
- Các quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.