Giải bài tập Ôn tập chương II Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu

Câu 1 (Trang 50 SGK)
Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho $\widehat{ABC}=90^{\circ}$.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.
b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
c) AB không phải là đường kính của mặt cầu.
d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải:

Ta có:
a) Đúng.
Vì mặt cầu giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn.
b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.
Vì trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu, với giả thiết $\widehat{ABC}=90^{\circ}$.
=>  AB là đường kính của đường tròn giao tuyến.

=================

Câu 2 (Trang 50 SGK)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a.
Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Ôn tập chương II Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
Vì ∆ABD vuông góc tại A, nên khi quay BDA quanh AB ta được hình nón tròn xoay đường cao AB = a và bán kính đáy bằng AD = r =a.
=> $V=\frac{1}{3}\prod r^{2}h=\frac{1}{3}\prod r^{3} (cm^{3})$
=> $S_{xq}=\prod .r.l$
Mà ta có: $l=a\sqrt{2}$
=> $S_{xq}=\prod .r.l=\prod .a.a\sqrt{2}=a^{2}\sqrt{2}\prod (cm^{2})$

*********************

Câu 3 (Trang 50 SGK)
Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).

Hướng dẫn giải:

Cho hình chóp $S.A_{1}A_{2}A_{3}…A_{n}$ có các cạnh bên bằng nhau.
Giả sử I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy.
=> $SA_{1} = SA_{2} = SA_{3} = SA_{n}$
=> $∆SIA{1}ư= ∆SIA_{2} = ∆SIA_{3}= ∆SIA_{n}$
=> $IA_{1} = IA_{2} = IA_{3} = IA_{n}$
=> Đa giác $A_{1}A_{2}A_{3}…A_{n}$ là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.
Xét mp(SAI), đường trung trực của $SA_{1}$ cắt SI tại O, ta có:
$OS = OA_{1}$                  (1)
$OA_{1} = OA_{2} = OA_{3} = OA_{n}    (2)
Từ (1) ,(2) => $OS = OA_{1} = OA_{2} = OA_{3} = OA_{n}$
Vậy hình chóp $S.A_{1}A_{2}A_{3}…A_{n}$ nội tiếp được trong một mặt cầu.   (đpcm)

=================

Câu 4 (Trang 50 SGK)
Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.
Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Ôn tập chương II Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $SA, SB, SC$.
$D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$ và đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $AB, BC, CA$.
Ta có:  $AD = AF => AB = AC$
$BD = BE => BC = AB$
=> $AB = BC = CA$
=>△ABC là tam giác đều.                                   (1)
Mặt khác: $AM = AD$
$BN = BD = AD$
$SM = SN = SP$
=>  $SM + AM = SN + NB$
=>  $SA = SB$
Tương tự: $SA = SB = SC$
Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S
Ta có: $△SHA = △SHB =△SHC$
=> $HA = HB = HC$
=> H là tâm của tam giác đều ABC,                               (2)
Từ (1), (2) => hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.   (đpcm)

***********************

Câu 5 (Trang 50 SGK)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Ôn tập chương II Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
a) Từ A kẻ $AH\perp MP(BCD)$
Theo bài ra: $AB=AC=AD$
=> $\triangle ABH=\triangle ACH=\triangle ADH$
=> $HB=HC=HD$
=> H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCH.  (đpcm)
Ta có: $AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}$
Mà: $BH=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
=> $AH=\sqrt{a^{2}-\frac{3a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
Vậy $AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
b) Ta có: $h=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
$r=BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
=> $S_{xq}=2\prod .r.h=2\prod .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{2\prod a^{2}\sqrt{2}}{3}$  (đvdt)
$V=\prod r^{2}.h=\prod (\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\prod a^{3}\sqrt{6}}{9}$   (đvtt)
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ bằng $S_{xq}=\frac{2\prod a^{2}\sqrt{2}}{3}$  (đvdt)
Thể tích của khối trụ bằng $V=\frac{\prod a^{3}\sqrt{6}}{9}$   (đvtt)

+++++++++++++++++++++++++

Câu 6 (Trang 50 SGK)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho $OS=\frac{a}{2}$ .
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Ôn tập chương II Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
Qua O vẽ đường thẳng $d\perp (ABCD)$
=> d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Gọi H là trung điểm cạnh SA => SH = AH.
Ta có: $\triangle SAO\sim \triangle SIH$
=> $\frac{SA}{SO}=\frac{SI}{SH}$
=> $SI=\frac{SA.SH}{SO}=\frac{SA^{2}}{2SO}$
Mặt khác: $SA^{2}=SO^{2}+OA^{2}=\frac{3a^{2}}{4}$
=> $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
=> $SI=\frac{3a}{4}$
=> $SI=IA=IB=IC=ID=\frac{3a}{4}$
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính $R=SI=\frac{3a}{4}$.
=> Diện tích mặt cầu là: $S=4\prod R^{2}=4\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{9a^{2}\prod }{4}$  (đvdt)
Thể tích khối cầu là: $V=\frac{4}{3}\prod r^{2}=\frac{4}{3}\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{3\prod a^{2}}{4}$  (đvtt)

=================

Câu 7 (Trang 50 SGK)
Cho hình trụ có bán kính r, trục OO’ = 2r và mặt cầu đường kính OO’.
a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích mặt cầu là: $S=4\prod r^{2}$
Diện tích xung quang mặt trụ là: $S=2\prod r.h=4\prod r^{2}$
=> Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau.
b) Thể tích khối trụ là: $V=\prod r^{2}.h$
Thể tích khối cầu là: $V=\frac{4}{3}\prod r^{2}$
=> $V_{t}=\frac{3}{2}V_{c}$

Leave a Reply