Giải bài tập Ôn tập chương II Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit

Câu 1: Trang 90 – sgk giải tích 12

Hãy nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

Hướng dẫn giải:

Tính chất của lũy thừa với số mũ thực:
Cho a, b là những số thực dương; $\alpha$, $\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$
$\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha -\beta }$
$(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$
$(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }b^{\alpha }$
$(\frac{a}{b})^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}$
Nếu $a>1$ => $a^{\alpha }>a^{\beta }<=> \alpha >\beta $
Nếu $a<1$ => $a^{\alpha }<a^{\beta }<=> \alpha >\beta $

****************

Câu 2:Trang 90 – sgk giải tích 12

Hãy nêu các tính chất của hàm lũy thừa.

Hướng dẫn giải:

Tính chất của hàm lũy thừa $y=a^{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$
Giải bài tập Ôn tập chương II Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit

***************

Câu 3:Trang 90 – sgk giải tích 12

Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Hướng dẫn giải:

Tính chất của hàm số mũ $y=a^{x}$
Giải bài tập Ôn tập chương II Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Tính chất của hàm số lôgarit
Giải bài tập Ôn tập chương II Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
***********************

Câu 4:Trang 90 – sgk giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y=\frac{1}{3^{x}-3}$
b) $y=\log\frac{x-1}{2x-3}$
c) $y=\log\sqrt{x^{2}-x-12}$
d) $y=\sqrt{25^{x}-5^{x}}$

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định <=> $3^{x}-3\neq 0<=>3^{x}\neq 3<=>x\neq 1$
=> Tập xác định là: $D=R$\{1}.
b) Hàm số xác định <=> $\frac{x-1}{2x-3}>0<=>(x-1)(2x-3)>0$
<=> $x<1$  hoặc $x>\frac{3}{2}$
<=> $x\in (-\infty ;1)\cup (\frac{3}{2};+\infty )$
=> Tập xác định là: $D= (-\infty ;1)\cup (\frac{3}{2};+\infty )$
c) Hàm số xác định <=> $x^{2}-x-12>0$
<=> $x<-3$  hoặc $x>4$
<=> $x\in (-\infty ;-3)\cup (4;+\infty )$
=> Tập xác định là: $D= (-\infty ;-3)\cup (4;+\infty )$
d) Hàm số xác định <=> $25^{x}-5^{x} \geq 0<=>5^{2x}-5^{x} \geq 0$
<=> $2x-x\geq 0<=> x \geq 0$
=> Tập xác định là: $D=[0;+\infty )$

*********************

Câu 5:Trang 90 – sgk giải tích 12

Biết $4^{4}+ 4^{-x} = 23$.
Hãy tính: $2^{x} + 2^{-x}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $4^{4}+ 4^{-x}=(2^{x} + 2^{-x})^{2}-2$
Mà $4^{4}+ 4^{-x} = 23$.
=> $2^{x} + 2^{-x}=25-2=23$
Vậy $2^{x} + 2^{-x}=23$.

************************

Câu 6:Trang 90 – sgk giải tích 12

Cho $\log_{a}b=3$,$\log_{a}c=-2$ . Hãy tính $\log_{a}x$ với:
a) $x=a^{3}b^{2}\sqrt{c}$
b) $x=\frac{a^{4}\sqrt[3]{b}}{c^{3}}$

Hướng dẫn giải:

a) Với $x=a^{3}b^{2}\sqrt{c}$
$\log_{a}x=\log_{a}a^{3}b^{2}\sqrt{c}$
= $\log_{a}a^{3}+\log_{a}b^{2}+\log_{a}\sqrt{c}$
= $3+2\log_{a}b+\frac{1}{2}\log_{a}c$
= $3+2.3+\frac{1}{2}(-2)=8$
b) Với $x=\frac{a^{4}\sqrt[3]{b}}{c^{3}}$, ta có:
$\log_{a}x=\log_{a}\frac{a^{4}\sqrt[3]{b}}{c^{3}}$
= $\log_{a}a^{4}+\log_{a}\sqrt[3]{b}-\log_{a}c^{3}$
= $4+\frac{1}{3}\log_{a}b-3\log_{a}c$
= $4+\frac{1}{3}.3-3(-2)=11$

*****************

Câu 7:Trang 90 – sgk giải tích 12

Giải các phương trình sau:
a) $3^{x+4} + 3.5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$

b) $25^{x}– 6.5^{x} + 5 = 0$
c) $4.9^{x} + 12^{x} – 3.16^{x} = 0$
d) $\log_{7}(x-1)\log_{7}x = \log_{7}x$
e) $\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x+\log_{\frac{1}{3}}x=6$
g) $\log_{\frac{x+8}{x-1}}=\log x$

Hướng dẫn giải:

a) $3^{x+4} + 3.5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$
<=> $3^{x}.3^{4}+3.5^{x}.5^{3}=5^{x}.5^{4}+3^{x}.3^{3}$
<=> $(3^{4}-3^{3}).3^{x}=(5^{4}-3.5^{3}).5^{x}$
<=> $2.3^{x+3}=2.5^{x+2}$
<=> $(\frac{3}{5})^{x+3}=1=(\frac{3}{5})^{0}$
<=> $x+3=0<=> x=-3$
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=-3$.
b) $25^{x}– 6.5^{x} + 5 = 0$
Đặt $5^{x}=a, (a>0)$
<=> $a^{2}-6a+5=0$
<=> $a=1$  hoặc $a=5$    (t/m)
<=> $\left\{\begin{matrix}5^{x}=1 & \\ 5^{x}=5 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=0 & \\ x=1 & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình trên có nghiệm $\left\{\begin{matrix}x=0 & \\ x=1 & \end{matrix}\right.$
c) $4.9^{x} + 12^{x} – 3.16^{x} = 0$
<=> $4(\frac{9}{12})^{x}+1-3(\frac{16}{12})^{x}=0$
<=> $4(\frac{3}{4})^{x}+1-3(\frac{4}{3})^{x}=0$
Đặt $(\frac{3}{4})^{x}=a,(a>0)$
<=> $4a+1-\frac{3}{a}=0$
<=> $4a^{2}+a-3=0$\
<=> $a=\frac{3}{4}=(\frac{3}{4})^{x}$
<=> $x=1$   (t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=1$.
d) $\log_{7}(x-1)\log_{7}x = \log_{7}x$
Đk: $x-1>0 <=> x>1$
<=> $\log_{7}x(\log_{7}(x-1)-1) = 0$
<=> $\log_{7}x=0$  hoặc $\log_{7}(x-1)-1=0$
<=> $x=1$  hoặc $x-1=7$
<=> $x=1$  ( loại vì $x>1$) hoặc $x=8$   (t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=8$.
e) $\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x+\log_{\frac{1}{3}}x=6$
Đk: $x>0$
<=> $\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}x=6$
<=> $\log_{\sqrt{3}}x=6$
<=> $x=3^{3}=27$  ( t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=27$.
g) $\log_{\frac{x+8}{x-1}}=\log x$
Đk: $x>0,x-1\neq 0=>x\neq 1$
<=> $\frac{x+8}{x-1}=x$
<=> $x+8=x^{2}-x$
<=> $x^{2}-2x-8=0$
<=> $x=4$  (t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=4$.

 
**************************

Câu 8: Trang 90 – sgk giải tích 12

Giải các bất phương trình:
a) $2^{2x-1}+ 2x^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448$
b) $(0,4)^{x} – (2,5)^{x+1} > 1,5$
 
c) $\log_{3}\left [ \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1) \right ]<1$
d) $\log^{2}_{0,2}x-5\log_{0,2}x<-6$

Hướng dẫn giải:

a) $2^{2x-1}+ 2x^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448$
<=> $\frac{1}{2}2^{2x}+\frac{1}{4}2^{2x}+\frac{1}{8}2^{2x}\geq 448$
<=> $\frac{7}{2}2^{2x}\geq 448$
<=> $2^{2x}\geq 512$
<=> $2^{2x}\geq 2^{9}$
<=> $2x\geq 2^{9}$
<=> $x\geq \frac{9}{2}$
b) $(0,4)^{x} – (2,5)^{x+1} > 1,5$
<=> $(\frac{2}{5})^{x}-(\frac{5}{2}).(\frac{5}{2})^{x}>1,5$
Đặt $(\frac{2}{5})^{x}=t,(t>0)$
<=> $2t^{2}-3t-5>0$
<=> $t>\frac{5}{2}$
<=> $(\frac{2}{5})^{x}>\frac{5}{2}$
<=> $x<-1$
c) $\log_{3}\left [ \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1) \right ]<1$
<=> $\log_{3}\left [ \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1) \right ]<\log_{3}3$
<=> $0< \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1)<3$
<=> $\frac{1}{8}<x^{2}-1<1$
<=> $\frac{3}{2\sqrt{2}}<\sqrt{x}<\sqrt{2}$
d) $\log^{2}_{0,2}x-5\log_{0,2}x<-6$
Đặt $\log_{0,2}x=t(t>0)$
<=> $t^{2}-5t+6<0$
<=> $2<t<3$
<=> $2<\log_{0,2}x<3$
<=> $5^{-3}<x<5^{-2}$

Leave a Reply