Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 9,10 – Hình học 12

Bài tập 9 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 9

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 9,10 – Hình học 12
Gọi O là giao điểm của AC và BD. AM cắt SO tại I.
Do mặt phẳng chứ AM, song song với BD nên E, F lần lượt là các giao điểm của đường thẳng qua I, song song với BD với các đường thẳng SB, SD.
Ta có: \(DB\perp AC\) (giả thiết)
\(SO\perp BD\) (vì S.ABCD là hình chóp đều)
Nên \(BD\perp (SAC)\Rightarrow EF\perp (SAC)\Rightarrow EF\perp SC\)  (1)
Mặt khác tam giác SAC cân tại S, hơn nữa theo giả thiết thì góc giữa SA và (ABCD) bằng 600 tức là góc \(\widehat{SAC}=60^0\) nên \(\Delta SAC\) đều. Vì M là trung điểm của SC nên \(AM\perp SC\) (2)
Từ (1) và (2), ta có: \(SC\perp (AEMF)\Rightarrow SM\) là chiều cao của khối chóp S.AEMF
Cũng từ \(EF\perp (SAC)\Rightarrow EF\perp AM\Rightarrow S_{AEMF}=\frac{1}{2} EF.AM\)
\(\Rightarrow V_{S.AEMF}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}EF.AM.SM\) (*)
Vì \(\Delta SAC\) đều và \(AC=a\sqrt{2}\) (đường chéo của hình vuông cạnh a) nên \(SC=a\sqrt{2}\Rightarrow SM=\frac{a\sqrt{2}}{2}(3)\)
Cũng vì \(\Delta SAC\) đều cạnh \(a\sqrt{2}\) nên \(AM=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \ (4)\)
Để thấy I là trọng tâm của tâm giác SDB nên theo định lý Talet ta có:
\(\frac{EF}{BD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}BD= \frac{2}{3}a\sqrt{2} (5)\)
Thay (3), (4) và (5) vào (*) ta có:
\(V_{S.AEMF}=\frac{1}{6}.\frac{2}{3}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}. \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}\)

==================

Bài tập 10 trang 27 SGK Hình học 12

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tạ E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 10

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 9,10 – Hình học 12
Câu a:
Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’.
Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có: \(A’M\perp B’C’\)  (1)
Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: \(BB’\perp (A’B’C’)\)
\(\Rightarrow BB’\perp A’M\)
Từ (1) và (2) suy ra \(A’M\perp (BB’C)\) hay A’M là đường cao của hình chóp A’.BCB’.
Ta có: \(A’M=\frac{a\sqrt{3}}{2};S_{BB’C}=\frac{1}{2}a^2\)
\(\Rightarrow V_{A’BB’C}=\frac{1}{3}A’M.S_{BB’C}\Rightarrow V_{A’BB’C}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Câu b:
Thể tích hình chóp C.A’B’EF bằng tổng thể tích hai hình chóp:
– V1 là thể tích hình chóp đỉnh B’, đáy là tam giác CEF.
– V2 là thể tích hình chóp đỉnh B’, đáy là tam giác A’EC.
Do mp (ABC) // mp(A’B’C’) nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có: \(EF=\frac{2}{3}a\)
Hình chóp B’.CEF có chiều cao BB’ = a và diện tích đáy là:
\(S_{CEF}=\frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{9}\)
Từ đây ta có: \(V_1=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}\)
Do \(EC=\frac{2}{3}AC\) nên \(S_{A’EC}=\frac{2}{3}a.\frac{1}{2}a=\frac{a^2}{3}\)
Hình chóp B’.A’EC có chiều cao là B’I (chiều cao của \(\Delta A’B’C’\)) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) nên \(V_2=\frac{a^3\sqrt{3}}{18}\)
Vậy thể tích hình chóp C.A’B’FE là: \(V=V_1+V_2=\frac{5a^3\sqrt{3}}{54}\)

Leave a Reply