Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12

Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12

***************

Bài tập 1 trang 18 SGK Hình học 12

Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.1.23), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.
Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12
 

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Là bài tập thủ công.

Bài tập 2 trang 18 SGK Hình học 12

Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Gọi E, F, G, I, J, K là tâm của các mặt của nó. Khi đó các đỉnh E, F, G, I, J, K tạo thành hình bát diện đều EFGIJK.
Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12
Đặt AB = a
Diện tích tam giác đều (EFJ) bằng Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12.
Suy ra diện tích toàn phần của hình bát diện (H’) bằng Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12. Diện tích toàn phần của hình lập phương (H) bằng Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12. Do đó tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’) bằng
Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12.

Bài tập 3 trang 18 SGK Hình học 12

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi E, F, I, J lần lượt là tâm của các mặt ABC, ABD, ACD, BCD (H.11).
Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12
Vì Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12
Suy ra Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12.
Tương tự, các cạnh khác của tứ diện EFIJ đều bằng  Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12.
Do đó tứ diện EFIJ là một tứ diện đều.

Bài tập 4 trang 18 SGK Hình học 12

Cho hình bát diện đều ABCDEF (h.1.24).
Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12
Chứng minh rằng :
a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Giải bài tập SGK Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Hình học 12
Câu a:
Do B, C, D, E cách đều A và F nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của AF).
Tương tự, A, B, F, D đồng phẳng và A, C, F, E đồng phẳng
Gọi I là giao của (AF) với (BCDE). Khi đó B, I, D là những điểm chung của hai mặt phẳng (BCDE) và (ABFD) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, E, I , C thẳng hàng.
Vậy AF, BD, CE đồng quy tại I.
Vì BCDE là hình thoi nên BD vuông góc với BC và cắt BC tại I là trung điểm của mỗi đường. I là trung điểm của AF và AF vuông góc với BD và EC, do đó các đoạn thẳng AF, BD, và CE đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Câu b:
Do AI vuông góc (BCDE) và AB = AC =AD = AE nên IB = IC= ID = IE. Từ đó suy ra hình thoi BCDE là hình vuông. Tương tự, ABFD, AEFC là những hình vuông.

Leave a Reply