Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

****************

Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) \(y = 4 + 3x – x^2\).
b) \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2\).
c) \(y = x^4 – 2x^2 + 3\).
d) \(y = -x^3 + x^2 – 5\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Phương pháp giải:

Với bài toán xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ta thực hiện bốn bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bên cạnh đó các em cần ôn lại các định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đã học ở lớp 10 để xét dấu đạo hàm của các hàm số một cách chính xác nhất.

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 1 như sau:
Câu a: 
Xét hàm số \(y = 4 + 3x – x^2\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(y’ = 3 – 2x \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow 3-2x=0\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).
Với \(x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (\(-\infty\); \(\frac{3}{2}\)) và nghịch biến trên khoảng (\(\frac{3}{2}\); \(+\infty\)).
Câu b: 
Xét hàm số \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(y’ = {x^2} + 6x – 7 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = – 7 \end{array} \right..\)
Với \(x=-7 \Rightarrow y=\frac{239}{3}\)
Với \(x=1 \Rightarrow y=-\frac{17}{3}\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng (\(-\infty\) ; -7), (1 ; \(+\infty\)) và nghịch biến trên khoảng (-7;1).
Câu c: 
Xét hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 3\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} – 1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Với x=-1 ta có y=2.
Với x=0 ta có y=0.
Với x=1 ta có y=2.
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1 ; 0), (1 ; +\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1), (0 ; 1)\).
Câu d: 
Xét hàm số \(y = -x^3 + x^2 – 5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(\begin{array}{l} y’ = – 3{x^2} + 2x\\ y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
Với \(x=0\Rightarrow y=-5.\)
Với \(x=\frac{2}{3}\Rightarrow -\frac{131}{27}.\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \(( 0 ; \frac{2}{3} )\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; 0), ( \frac{2}{3}; +\infty).\)

 

Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a)  Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
b) Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
c) Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
d) Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Phương pháp giải:

Với bài toán tìm khoản đơn điệu của hàm số, ta giải theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 2 như sau:
Câu a: 
Xét hàm số Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tập xác định:\(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\) .
\(y’=\frac{4}{(1-x)^{2}}> 0, \forall x \neq 1\).
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng: \(( -\infty; 1), (1 ; +\infty)\).
Nhận xét: Xét hàm số phân thức bậc nhât trên bậc nhất (Hàm nhất biến) \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\left ( ad-bc \ne 0,c\ne0 \right )\):

  • Hàm số luôn luôn đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{d}{c}} \right)\) và \(\left( {-\frac{d}{c}; + \infty } \right).\)
  • Công thức tính nhanh đạo hàm \(y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}.\)

Câu b: 
Xét hàm số Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\).
\(y’=\frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0, \forall x \neq 1\) .
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng: \((-\infty ; 1), (1 ; +\infty)\).
Câu c: 
Xét hàm số Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tập xác định: D = (\(-\infty\);-4] ∪ [5 ;\(+\infty\)).
\(y’=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}, \forall x \in (-\infty ; -4) \cup (5 ; +\infty)\).
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5 ; +\infty)\).
Câu d: 
Xét hàm số Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tập xác định : \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ -3 ; 3 \right \}\).
\(y’=\frac{-2(x^{2}+9)}{\left (x^{2}-9 \right )^{2}} < 0, \forall x \in D.\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng : \((-\infty ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +\infty)\).

 

Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\) đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1 ; +\infty)\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Phương pháp giải:

Với bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=f(x) ta thực hiện các bước sau: Tìm tập xác định của hàm số, tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x)=0, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y’ = \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)’ = \frac{{x'({x^2} + 1) – ({x^2} + 1)’x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\)
\(= \frac{{{x^2} + 1 – 2{x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} \Leftrightarrow 1 – {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Với \(x=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\).
Với \(x=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1), (1; +\infty).\)

Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((1 ; 2)\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Phương pháp giải:

Bài 4 một bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức, để giải bài ta cũng thực hiên qua 4 bước:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Sau khi khảo sát xong tính đơn điệu của hàm số ta sẽ có được điều phải chứng minh theo yêu cầu của bài 4.

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\)
Tập xác định:  \(D = \left [ 0 ; 2 \right ];\)
\(y’ = \frac{{2 – 2x}}{{2\sqrt {2x – {x^2}} }} = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)  \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)
b) \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Phương pháp giải:

Với dạng bài tập ở bài 5 chứng minh \(g(x)>h(x)\) với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau:
Bước 1: \(g(x)>h(x)\Leftrightarrow g(x)-h(x)>0.\)
Bước 2: Đặt \(f(x)=h(x)-g(x)\), khảo sát tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Bước 3: Tìm x để \(f(x)=0\) (thường là hai đầu mút của miền đang xét).
Bước 4: Từ tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) đưa ra kết luận cho bài toán.

Lời giải:

Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5:
Câu a:
Để chứng minh \(tanx >x\) với mọi \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta chứng minh:
\(tanx-x>0\) với mọi \(0<x<\frac{\pi}{2}\).
Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và \(x=\frac{\pi}{2}.\)
Dễ thấy: \(tan(0)-0=0.\)
Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau:
Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\)
\(f'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1 > 0\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
 
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\).
Vậy với \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta có: \(f(x)>f(0)=0 \Rightarrow tan x>x\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).
Câu b:
Chứng minh \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)
Tương tự câu a.
Xét hàm số \(g(x) = \tan x – x – \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) có đạo hàm:
\(g'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1 – {x^2} = {\tan ^2}x – {x^2}\)
\(= (tanx – x)(tanx + x) > 0,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)  (Theo câu a)
\(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\)
Bảng biến thiên:
Giải bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Vậy với \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta có: \(g(x)>g(0)=0 \Rightarrow tan x>x+\frac{x^3}{3}\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

Nhận xét:

Với dạng bài tập chứng minh f(x)>0 với x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) và f(b) đề khác không, hoặc f(x) không xác định tại a và b. Thì f(x)=0 tại x0, với xlà nghiệm của phương trình f'(x)=0, ta không cần mở rộng khoảng đang xét.

Leave a Reply