Giải bài tập Bài 3 Lôgarit – Giải tích 12

Câu 1: Trang 68- sgk giải tích 12
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a) $\log _{2}\frac{1}{8}$
b) $\log _{\frac{1}{4}}2$
c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$
d) $\log _{0,5}0,125$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức Lôgarit, ta có:
a)  $\log _{2}\frac{1}{8}$
= $\log _{2}2^{-3}=-3$
Vậy $\log _{2}\frac{1}{8=-3$
b) $\log _{\frac{1}{4}}2$
= $\log _{2^{-2}}2$
= $\frac{-1}{2}\log _{2}2=\frac{-1}{2}$
Vậy $\log _{\frac{1}{4}}2=\frac{-1}{2}$
c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$
= $\log _{3}3^{\frac{1}{4}}$
= $\frac{1}{4}\log _{3}3=\frac{1}{4}$
Vậy $\log _{3}\sqrt[4]{3}=\frac{1}{4}$
d) $\log _{0,5}0,125$
= $\log _{0,5}(0,5^{3})$
= $3\log _{0,5}0,5=3$
Vậy $\log _{0,5}0,125=3$

***********

Câu 2: Trang 68- sgk giải tích 12
Tính:
a) $4^{\log _{2}3}$
b) $27^{\log _{9}2}$
c) $9^{\log _{\sqrt{3}}2}$
d) $4^{\log _{8}27}$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức Lôgarit, ta có:
a) $4^{\log _{2}3}$
= $2^{2}^{\log _{2}3}$
= $2^{\log _{2}3^{2}}$
= $3^{2}=9$
Vậy $4^{\log _{2}3}=9$
b) $27^{\log _{9}2}$
= $3^{3\frac{1}{2}}^{\log _{3}2}$
= $2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$
Vậy $27^{\log _{9}2}=2\sqrt{2}$
c) $9^{\log _{\sqrt{3}}2}$
= $\sqrt{3}^{4}^{\log _{\sqrt{3}}2}$
= $\sqrt{3}^{\log _{\sqrt{3}}2^{4}}$
= $2^{4}=16$
Vậy $9^{\log _{\sqrt{3}}2}=16$
d) $4^{\log _{8}27}$
= $2^{2}^{\log _{2}3}$
= $3^{2}=9$
Vậy  $4^{\log _{8}27}=9$

*********************

Câu 3: Trang 68- sgk giải tích 12
Rút gọn biểu thức:
a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$
b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:
a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$
= $\log _{8}9.\log _{3}6.\log _{6}2$
= $\log _{8}9.\log _{3}2$
= $\frac{\log _{3}2}{\log _{8}9}$
= $\frac{2\log _{3}2}{3\log _{3}2}=\frac{2}{3}$
Vậy $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2=\frac{2}{3}$
b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$
= $2\log _{a}.\left |b  \right |+2\log _{a}\left |b  \right |$
= $4\log _{a}\left |b  \right |$
Vậy $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}=4\log _{a}\left |b  \right |$

***********

Câu 4: Trang 68- sgk giải tích 12
So sánh các cặp số sau:
a) $\log _{3}5$ và $\log _{7}4$
b) $\log _{0,3}2$ và $\log _{5}3$
c) $\log _{2}10$ và $\log _{5}30$

Hướng dẫn giải:

Ta có:
a) Vì $\log _{3}3=1$
=> $\log _{3}5>1$  (1)
Tương tự: $\log _{7}7=1$
=> $\log _{7}4<1$  (2)
Từ (1),(2)  => $\log _{3}5>$\log _{7}4$
b) Tương tự:
$\log _{0,3}0,3=1$
=> $\log _{0,3}2>1$   (1)
$\log _{5}5=1$
=> $\log _{5}3<1$  (2)
Từ (1),(2)  => $\log _{0,3}2>\log _{5}3$
c) Ta có: $\log _{2}10=\log _{2}2.5=\log _{2}2+\log _{2}5=1+\log _{2}5$
Mặt khác: $2^{\log _{2}5}=5$
$2^{2}=4$
=> $2^{\log _{2}5}>2^{2}$
=> $\log _{2}5 >2$
=> $\log _{2}10>3$   (*)
$\log _{5}30=\log _{5}5.6=\log _{5}5+\log _{5}6=1+\log _{5}6$
Mà:  $5^{\log _{5}6}=6$
$5^{2}=25$
=> $5^{\log _{5}6}<5^{2}$
=> $\log _{5}6<2$
=> $\log _{5}30<3$  (**)
Từ (*),(**) =>  $\log _{2}10>\log _{5}30$

**********

Câu 5: Trang 68- sgk giải tích 12
a) Cho $a=\log _{30}3$, $b=\log _{30}5$.
Hãy tính $\log _{30}1350$ theo a, b.
b) Cho $c=\log _{15}3$. Hãy tính $\log _{25}15$ theo c.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức Lôgarit , ta được:
a)  $\log _{30}1350=\log _{30}3^{2}.5.30=\log _{30}3^{2}+\log _{30}5+\log _{30}30=2\log _{30}3+\log _{30}5+1=2a+b+1$
b) $\log _{25}15=\log _{5^{2}}15=\frac{1}{2}\log _{5}3.5=\frac{1}{2}(\log _{5}3+\log _{5}5)$
Mà theo bài ra: $c=\log _{15}3$
<=> $c=\frac{1}{\log _{3}15}=\frac{1}{\log _{3}3.5}=\frac{1}{1+\log _{3}5}$
=> $\log _{3}5=\frac{1}{c}-1$
=> $\log _{5}3=\frac{c}{1-c}$
=> $\log _{25}15=\frac{1}{2}(\frac{c}{1-c}+1)=\frac{1}{2(1-c)}$

Leave a Reply