Giải bài tập Bài 1 Khái niệm về mặt tròn xoay

Câu 1 (Trang 39 SGK)
Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.

Hướng dẫn giải:

Lưu bản nháp tự động
Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn (T).
Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P).
Khi đó đường thẳng ∆ // d và luôn cách d một khoảng bằng r.
Đường thẳng ∆ thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính r.

******************

Câu 2 (Trang 39 SGK)
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư,
b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.
c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Hướng dẫn giải:

a) Khi quay một hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh thì ta được một hình trụ.
b) Khi quay một tam giác cân xung quanh trục đối xứng của nó ta được một hình nón tròn xoay.
c) Một tam giác vuông kể cả điểm trong của nó khi quay xung quanh một đường thẳng chứa một cạnh góc vuông thì tạo ra một khối nón tròn xoay.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của nó khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh thì tạo ra một khối trụ tròn xoay.
**********
Câu 3 (Trang 39 SGK)
Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Hướng dẫn giải:

Lưu bản nháp tự động
a) Giả sử SA = l là độ dài đường sinh, SH = h là chiều cao hình nón.
Trong tam giác vuông SOA ta có:
$SA^{2}=SO^{2}+OA^{2}=h^{2}+r^{2}=20^{2}+25^{2}=1025
=> $SA=\sqrt{1025}$
Diện tích xung quanh hình nón là:
$S_{xq}=π.r.l=π.25\sqrt{1025}≈2514,5(cm^{2})$
b) Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}π.r^{2}.h=\frac{1}{3}π.25^{2}.20≈13083,3(cm^{3})$
c) Giả sử thiết diện SAB đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại A và B. Gọi I là trung điểm cỉa dây cung AB. Từ tâm O của đáy vẽ OH vuông góc với SI.
Ta có: $\left\{\begin{matrix}AB\perp OI & \\ AB\perp SO & \end{matrix}\right.=> AB\perp (SOI)$
=> $AB\perp OH$
Mà: $\left\{\begin{matrix}OH\perp AH & \\ OH\perp SI & \end{matrix}\right.=> OH\perp (SAB)$
<=> $OH=12(cm)$
Xét tam giác vuông SOI, có: $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{OS^{2}}$
=> $\frac{1}{OI^{2}}=\frac{1}{OH^{2}}-\frac{1}{OS^{2}}$
<=> $\frac{1}{OI^{2}}=\frac{1}{12^{2}}-\frac{1}{20^{2}}$
<=> $OI=15(cm)$
Xét tam giác vuông AOI, có: $AI^{2}=OA^{2}-OI^{2}=25^{2}-15^{2}=20^{2}$
=> $AI=20(cm)$
Mặt khác: $SI.OH=SO.OI=>SI=\frac{SO.OI}{OH}$
<=> $SI=\frac{20.15}{12}=15(cm)$
=> Diện tích thiết diện SAB là: $S_{SAB}=\frac{1}{2}SI.AB=25.20=500(cm^{2})$

*****************

Câu 4 (Trang 39 SGK)
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm,. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng  bằng 10 cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.

Hướng dẫn giải:

Lưu bản nháp tự động
Kẻ $BH\perp d$
=> BH = 10cm
Ta có: $\sin \alpha =\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}$
=> $\alpha =30^{\circ}$
Vậy đường thẳng d luôn thuộc mặt nón nhận đường thẳng AB làm trục và có góc ở đỉnh bằng $2\alpha =2.30^{\circ}=60^{\circ}$

***********************

Câu 5 (Trang 39 SGK)
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a)Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài, hình trụ có chiều cao h = 7 cm và bán kính đáy r = 5 cm.
Vậy diện tích xung quanh bằng: $S_{xq}= π.r.h = 35π (cm^{2})$
Thể tích của khối trụ là: $V = π.r^{2}.h = 175π (cm^{3})$
b) Thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằng chiều cao của hình trụ bằng 7 cm.
Giả sử thiết diện là ABCD có: AD = 7 cm, OI = 3 cm.
Do tam giác OAI vuông tại A
=>  $AI^{2} = OA^{2} – OI^{2} = 25 – 9 = 16$
=> $AI=4(cm)$
Vậy AI = 4 cm, AB = 8 cm.

********************************

Câu 6 (Trang 39 SGK)
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài: đường kính của hình tròn đáy của nón bằng 2a.
=> $R = a$.
Mặt khác: Chiều cao của hình nón bằng chiều cao của tam giác đều
=> $h = a\sqrt{3}$ và đường sinh $l= 2a$
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S_{xq} = π.R.l = 2a^{2}π (đvdt).
Thể tích khối nón là: $V=\frac{1}{3}\prod r^{2}.h=\frac{1}{3}\prod .a^{2}.a\sqrt{3}=\frac{\prod a^{3}\sqrt{3}}{3}$ (đvtt)

******************

Câu 7 (Trang 39 – 40 SGK)
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao $h = r\sqrt{3}$
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

Hướng dẫn giải:

Để giải quyết tốt bài toán này, các bạn chỉ cần nhớ công thức tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ.
a) Diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{xq} = 2π.r.h = 2\sqrt{3}.π.r^{2}$  (đvdt)
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$S_{tp} = 2π.r.h + 2π.r^{2} =  2\sqrt{3}π.r^{2} + 2π.r^{2} = 2(\sqrt{3} + 1)π.r^{2}$  (đvtt)
b) Thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho là:
$V_{trụ} = π.R^{2}.h = \sqrt{3}π. r^{3}$   (đvtt)

*******************

Câu 8 (Trang 40 SGK)
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O’;r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO’ = r . Một hình nón có đỉnh là O’ và có đáy là hình tròn (O;r).
a) Gọi $S_{1}$ là diện tích xung quanh của hình trụ và $S_{2}$ là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$.
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 8

Câu a:
Độ dài đường sinh của nón:
\(l =\sqrt{h^2+r^2} =\sqrt{3r^2+r^2}= 2r\);
\(S_1 = 2\pi r.h = 2\sqrt{3}\pi r^2\).
\(S_2 = \pi rl = 2\pi r^22\).
( Ở đó S1, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ, hình nón).
Vậy: \(\frac{S_1}{S_2}=\sqrt{3}\) .
Câu b:
Gọi V1 là thể tích khối nón, V2 là thể tích phần còn lại của khối trụ.
Ta có: \(V_{kt}= \pi .r^2.h=.\pi r^3.h.\sqrt{3}\) (đơn vị thể tích)
\(V_{kn}= \frac{1}{3}.\pi .r^3.h=\frac{1}{3}.\pi.r^3\sqrt{3}\)
\(V=V_{kt}-V_{kn}=\pi.r^3.\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Do vậy \(\frac{V_{kn}}{V}=\frac{1}{2}\).

*******************
Câu 9 (Trang 40 SGK)
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc $60^{\circ}$.Tính diện tích tam giác SBC.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 9

Câu a:
Cạnh huyền chính bằng đường kính đáy do vậy bán kính đáy r = Lưu bản nháp tự động và đường cao h = r, đwòng sinh l = a.
Vậy Sxq = πrl = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^2\) ( đơn vị diện tích)
Sđáy = \(\pi r^{2}\) = \(\pi \frac{a^{2}}{2}\) ( đơn vị diện tích);
Vnón = \(\frac{1}{3}\pi r^{2}h\) \(= \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}\) ( đơn vị thể tích)
Câu b:
Gọi tâm đáy là O và trung điểm cạnh BC là I.
Theo giả thiết, Lưu bản nháp tự động = 600.
Ta có diện tích ∆ SBC là: S = (SI.BC)/2
Ta có SO + SI.sin600 = Lưu bản nháp tự động.
Vậy  Lưu bản nháp tự động.
Ta có ∆ OIB vuông ở I và BO = r = Lưu bản nháp tự động;
OI = SI.cos600 = Lưu bản nháp tự động.
Lưu bản nháp tự động
Vậy BI = Lưu bản nháp tự động và BC = Lưu bản nháp tự động.
Do đó S = (SI.BC)/2 = Lưu bản nháp tự động (đơn vị diện tích)

*************************

Câu 10 (Trang 40 SGK)
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Hướng dẫn giải:

Hạ đường sinh  $AA_{1}$ vuông góc với đáy chứa cạnh CD
=> góc $ADA_{1}$ là góc giữa hai mặt phẳng hình vuông và mặt đáy.
Vì góc $A_{1}DC = 1v$ nên $A_{1}C$ là đường kính.
Gọi cạnh hình vuông là a.
Ta có: $a^{2} = AD^{2} = AA^{2}_{1} + A_{1}D^{2}$

Mà: $AA_{1}  = h = r$
=> $A_{1}D^{2} + DC^{2} = A_{1}C^{2}$
<=> $a^{2} – r^{2} + a^{2} = 4r^{2}$
=> $a^{2}=\frac{5}{2}r^{2}$

Vậy diện tích hình vuông là: $S_{ABC}=a^{2}=\frac{5}{2}r^{2}$

Leave a Reply