Giải bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12

Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng .

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Nhận xét và phương pháp giải:

  • Câu a bài 7, yêu cầu tìm tham số m để đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước, rất đơn giản ta chỉ cần thay tọa điểm đó vào hàm số tương ứng y là tung độ, x là hoành độ, khi đó ta chỉ cần giải phương trình tìm tham số m.
  • Câu b, tham giá trị của m vào hàm số ta sẽ được một hàm số cụ thể sau đó thực hiện các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.
  • Câu c, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại tiếp điểm M(x0,y0) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng:

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
Như vậy trong câu c, ta cần phải xác định được tọa độ tiếp điểm. Mặc khác theo đề bài ta có tung độ tiếp điểm bằng , từ đó ta thay vào hàm số sẽ được tìm hoành độ.

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 7 như sau:
Câu a:
Điểm (-1;1) thuộc đồ thị của hàm số nên ta có: Giải bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12.
Câu b:
Với m=1 ta có hàm số: \(y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: Giải bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12 y’ = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
Giải bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và giá trị cực tiểu yct=y(0)=1.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;1).
Với x=1 ta có \(y=\frac{7}{4}.\)
Với x=-1 ta có \(y=\frac{7}{4}.\)
Đồ thị hàm số:
Giải bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Câu c:
Với \(y=\frac{7}{4}\) ta có: Giải bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Vậy hai điểm thuộc (C) có tung độ  là \(A\left ( 1;\frac{7}{4} \right )\)và \(B\left ( -1;\frac{7}{4} \right )\).
Ta có: y’=x3+x suy ra: y'(-1) = -2, y'(1) = 2.
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là: \(y – \frac{7}{4} = y'(1)(x – 1) \Leftrightarrow y = 2x – \frac{1}{4}.\)
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B là: \(y – \frac{7}{4} = y'(-1)(x + 1) \Leftrightarrow y = -2x – \frac{1}{4}.\)

Leave a Reply