Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Tóm tắt lý thuyết

1. Các phương pháp giải phương trình mũ

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

$a^x=a^y \Leftrightarrow x=y$

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với \(0 < a \neq 1\) ta có: \(a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

  • Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
    • Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)
      • Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)
      • Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)
    • Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)
      • Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)
      • Ta có:   \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).
    • Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)
      • Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:
      • \(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)
      • Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)
      • Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó
    • Xem ẩn đầu là tham số
    • Đưa về phương trình tích
    • Đưa về hệ phương trình
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó
    • Đưa về phương trình tích
    • Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

  • Xét hàm số \(y=a^x\):
    • Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
    • Nếu \(0<a<1: y=a^x nghịch biến trên \mathbb{R} \).
  • Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
  • Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
  • Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
    • \(f(x)\)đồng biến trên D.
    • \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

b) Phương pháp mũ hóa

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Xem ẩn ban đầu là tham số.
    • Đưa về phương trình tích.
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về phương trình tích
    • Xem 1 ẩn là tham số
    • Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

  • Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
    • \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
    • ​\(0<a<1, y =\log_a x\) nghịch biến trên \((0;+\infty )\)
  • Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
      • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
      • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.
  • Nếu hàm số \(f(x)\) đồng biến trên D và \(g(x)\) nghịch biến trên D thì phương trình \(f(x)=g(x)\) có tối đa một nghiệm. Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
  • Xét phương trình \(f(x)=m\): Nếu \(f(x)\) đồng biến (nghịch biến) trên D thì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

Bài tập minh họa

1. Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):
a)  \({2^{{x^2} + 3x – 2}} = \frac{1}{4}\)
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

Lời giải:

a) \({2^{{x^2} + 3x – 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x – 2}} = {2^{ – 2}}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = – 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)
 
\(\Leftrightarrow x – 1 – \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).

Ví dụ 2:

Giải phương trình  \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:
\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)
\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – {\log _2}3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = – {\log _2}3\).

Ví dụ 3:

Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
a)  \({3.25^x} – {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)
b)  \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} – 1\)

Lời giải:

a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} – {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)
Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} – 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)
(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).
b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 – {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)
Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)
Khi đó phương trình tương đướng với:
\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u – 1)(v – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 – {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 – {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = – 1 \end{array} \right.\).

Ví dụ 4:

a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\)
b) \({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {(x – 1)^2}\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(x>0\)
\(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 – x\) (*)
Nhận xét:
+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.
+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.
Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*).
Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Ta có: \({(x – 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – x \ge x – 1\)
Suy ra: \({2^{{x^2} – x}} \ge {2^{x – 1}} \Leftrightarrow {2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\)
Mà: \(VT=VP\)
Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} = 0\\ {2^{x – 1}} = {2^{{x^2} – x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)

2. Giải phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)
Lời giải:
Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x – {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)

Ví dụ 6:

Giải phương trình \({\log _{{x^2} – 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 1 > 0}\\ {{x^2} – 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < – 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} – 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} – 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Ví dụ 7:

Giải phương trình  \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)

Lời giải:

\(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} – {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = – 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ – 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).

Ví dụ 8:

Giải phương trình \({\log _2}({x^2} – 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\) (Dùng phương pháp hàm số)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 4 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} – 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} – 4) – {\log _2}(x + 2) = 3 – x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = 3 – x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x – 2} \right) = 3 – x \end{array}\)
Nhận xét:
Hàm số \(y = {\log _2}(x – 2)\) là hàm số đồng biến.
Hàm số \(y=3-x\) là hàm số nghịch biến
Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có ngiệm duy nhất \(x=3.\)

Leave a Reply