Bài 3 Lôgarit – giải tích 12

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).
Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)
Ví dụ:

  • \(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)
  • \(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
  • \(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)
  • \(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)
  • \(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)

2. Các tính chất của lôgarit

a) Qui tắc tính lôgarit

Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

  • Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)
  • Lôgarit của một tích:
    • Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)
    • Mở rộng với \(x_1,x_2,…, x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2….x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+…+\log_ax_n\)
  • Lôgarit của một thương
    • Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)
    • Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)
  • Lôgarit của một lũy thừa:
    • Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)
    • \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)

b) Công thức đổi cơ số:

Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

  • Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)

Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

  • Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)
  • Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số

  • Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)
  • Nếu \(0\log_ay \Leftrightarrow 0
  • Nếu \(00\)

4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).

b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 – {\log _9}10\)
b) \(B = {\log _{36}}2 – \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\)

Lời giải:

a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 – {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\)
b) \(B = {\log _{36}}2 – \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = – {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\)
\(= – {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = – \frac{1}{2}{\log _2}2 = – \frac{1}{2}\)

Ví dụ 2:

Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)
b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)

Lời giải:

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)
b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = – {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = – \left( {\frac{{34}}{{15}} – \frac{3}{4}} \right) = – \frac{{91}}{{60}}\)

Ví dụ 3:

a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)
b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)

Lời giải:

a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)
b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a – 1\)
Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a – 1} \right)}}\)

Ví dụ 4:

Không dùng máy tính, hãy so sánh:
a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)
b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)
c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}\)

Leave a Reply