Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – toán 12

1. Định nghĩa

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

  • Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
  • Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
  • Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập minh họa

1. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1:

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)
b) \(y=x^4-2x^2-1\)
c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

a) \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)

  • Xét hàm số: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’=3x^2-6x+3\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
  • Bảng biến thiên:

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - toán 12

  • Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

  • Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’=4x^3-4x\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - toán 12

  • Kết luận:
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
    • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

  • Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
    • TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
    • \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)
  • Bảng biến thiên:

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - toán 12

  • Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 3{x^2} + 6x + m\)
  • Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y’ \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 – 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).
  • Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 6{x^2} – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)
    • \(\Delta = {(2m + 1)^2} – 4({m^2} + m) = 1 > 0\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\)
  • Do \(m<m+1\) nên ta có bảng biến thiên:

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - toán 12

  • Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( – \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).
  • Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)

Leave a Reply