Trả lời câu hỏi ôn tập chương 1 – hình học 11

Bài tập 1 trang 33 SGK Hình học 11

Thế nào là một phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng? Nêu mối liên hệ giữa phép dời hình và phép đồng dạng.

Gợi ý trả lời bài 1

Phép biến hình là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm nằm trong mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó.

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Phép đồng dạng là phép biến bình thoả mãn: Nếu M, N và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua phép biến hình thì ta có: M’N’ = k. MN (k là tỉ số đồng dạng)

Phép dời hình là trường hợp đặc biệt của phép đồng dạng. Phép đồng dạng tỉ số k = 1 là phép dời hình.

***************

Bài tập 2 trang 33 SGK Hình học 11

a) Hãy kể các phép dời hình đã học.

b) Phép đồng dạng có phải là phép vị tự không?

Gợi ý trả lời bài 2

Câu a:

Các phép dời hình đã học là: Phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay.

Câu b:

Phép vị tự tỉ số \(k\) làm một phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|\) nhưng phép đồng dạng không phải lúc nào cũng là một phép vị tự.

*******************

Bài tập 3 trang 33 SGK Hình học 11

Hãy nêu một số tính chất đúng với phép dời hình mà không đúng đối với phép đồng dạng.

Gợi ý trả lời bài 3

Các tính chất sau đây chỉ có phép dời hình.

  • Bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kỳ
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

 

******************

Bài tập 4 trang 34 SGK Hình học 11

Thế nào là hình bằng nhau, hai hình đồng dạng với nhau? Cho ví dụ?

Gợi ý trả lời bài 4

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép dời hình biến hình này thành hình kia

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một phép đồng dạng biến hinh này thành hình kia.

**********************

Bài tập 5 trang 34 SGK Hình học 11

Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d. Hãy tìm một phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự thoả mãn một trong các tính chất sau:

a) Biến A thành chính nó;

b) Biến A thành B

c) Biến d thành chính nó.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Câu a:

Phép tịnh tiến theo vecto \(\vec 0\), phép đối xứng tâm A, phép đối xứng trục là đường thẳng đi qua A, phép quay, góc quay bằng \({360^0}\), phép vị tự tâm A, biến A thành chính nó.

Câu b:

Phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {AB} \), phép đối xứng tâm với tâm đối xứng là trung điểm của AB, phép đối xứng trục, với trục là đường trung trực của AB phép quay tâm là trung điểm của AB, góc quay \({180^0}\), phép vị tự tâm là trung điểm của AB, tỉ số -1.

Câu c:

Phép tịnh tiến theo vecto chỉ phương của d, phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng d, phép đối xứng tâm với tâm nằm trên d, phép quay  \({360^0}\), phép vị tự nằm trên d.

*****************

Bài tập 6 trang 34 SGK Hình học 11

Nêu cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Gợi ý trả lời bài 6

Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’). Khi đó ta có các trường hợp sau:

 * Trường hợp 1: I trùng với I’

Khi đó phép vị tự \({V_{\left( {I,\frac{{R’}}{R}} \right)}}\) và \({V_{\left( {I, – \frac{{R’}}{R}} \right)}}\)biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’). Thật vậy, gọi M là điểm thuộc (I; R) và \(M’ = {V_{\left( {I,\frac{{R’}}{R}} \right)}}(M).\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM’}  = \frac{{R’}}{R}.\overrightarrow {IM} \) hay M’ là giao điểm của tia IM với (I; R) do đó M’ thuộc (I’; R’). Vậy (I’; R’) là ảnh của (I; R) qua \({V_{\left( {I,\frac{{R’}}{R}} \right)}}\). Tương tự cho phép vị tự \({V_{\left( {I,\frac{{R’}}{R}} \right)}}\)

Trả lời câu hỏi ôn tập chương 1 - hình học 11

Vậy I là tâm vị tự của hai đường tròn trên.

* Trường hợp 2: I khác I’ và \(R \ne R’\)

Trả lời câu hỏi ôn tập chương 1 - hình học 11

Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường tròn (I; R) đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’; R’) tại M’, M’’. Giả sử MM’ cắt II’ tại điểm O, MM’’ cắt II’ tại \({O_1}\) (trong đoạn \(I{I_1}\))

Xét phép vị tự \({V_{\left( {O;\frac{{R’}}{R}} \right)}}\) ta có \({V_{\left( {O;\frac{{R’}}{R}} \right)}}(M) = M’\)

Hay (I’; R’) là ảnh của (I; R) qua \({V_{\left( {O;\frac{{R’}}{R}} \right)}}\)

Vậy O là tâm vị tự của (I; R) và (I’; R’)

Tương tự ta có: (I’; R’) cùng là ảnh của (I; R) qua \({V_{\left( {O;\frac{{R’}}{R}} \right)}}\)

Vậy \({O_1}\) là tâm vị tự của (I; R) và (I’; R’)

Ta gọi O là tâm vị tự ngoài, \({O_1}\)là tâm vị tự trong của hai đường tròn trên.

* Trường hợp 3: I khác I’ và R = R’

Trả lời câu hỏi ôn tập chương 1 - hình học 11

Khi đó MM’ // II’, gọi \({O_1}\)là giao điểm của MM’ và II’

Xét \({V_{\left( {{O_1};\frac{{R’}}{R}} \right)}}\)ta có \({V_{\left( {{O_1};\frac{{R’}}{R}} \right)}}\) (M) = M’’ thuộc (I’; R’) hay (I’; R’) là ảnh của (I; R) qua \({V_{\left( {{O_1};\frac{{R’}}{R}} \right)}}\)

Vậy \({O_1}\)là tâm vị tự của (I; R) và (I’; R’).

 

********************

 

Leave a Reply