Ôn tập chương I – Hình học 11

1. Nội dung đã được học

a) Tổng quan

Ôn tập chương I - Hình học 11

b) Các kí hiệu

 

Ôn tập chương I - Hình học 11

c) Biểu thức tọa độ

Ôn tập chương I - Hình học 11

 

d) Sơ đồ tính chất

Ôn tập chương I - Hình học 11

2. Ghi nhớ phép biến hình qua sơ đồ tư duy

a) Sơ đồ các phép biến hình

 

Ôn tập chương I - Hình học 11

b) Sơ đồ biểu diễn mối liên hệ giữa các phép biến hình

 

Ôn tập chương I - Hình học 11

 

Bài tập minh họa

Bài tập 1:

Trong mặt phẳng (Oxy) cho \(\overrightarrow u  = \left( {1; – 2} \right)\)

a) Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau:

+) Đường thẳng a có phương trình: 3x-5y+1=0 ?

+) Đường thẳng b có phương trình: 2x+y+100=0

b) Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ): \({x^2} + {y^2} – 4{\rm{x}} + y – 1 = 0\)

c) Viết phương trình đường (E) ảnh của (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

d) Viết phương trình ảnh của (H): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Hướng dẫn giải:

a) Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng.

Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = 1 + x\\y’ =  – 2 + y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x’ – 1\\y = y’ + 2\end{array} \right.\)

Thay x, y vào phương trình các đường ta có:

Đường thẳng a’: 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 \( \Leftrightarrow \)3x’-5y’-12=0

Đường thẳng b’: 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0

b) Đường tròn (C’): \({\left( {x’ – 1} \right)^2} + {\left( {y’ + 2} \right)^2} – 4\left( {x’ – 1} \right) + y’ + 2 – 1 = 0\)

Hay: \({x^2} + {y^2} – 6{\rm{x}} + 5y + 10 = 0\)

c) Đường (E’): \(\frac{{{{\left( {x’ – 1} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y’ + 2} \right)}^2}}}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{4} = 1\)

d) Đường (H’): \(\frac{{{{\left( {x’ – 1} \right)}^2}}}{{16}} – \frac{{{{\left( {y’ + 2} \right)}^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{16}} – \frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{9} = 1\).

 

Bài tập 2:

Cho điểm M(2;-3). Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d: y-2x=0.

Hướng dẫn giải:

Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow U  = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\,\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {x – 2;y + 3} \right)\quad \overrightarrow U  = \left( {1;2} \right)\quad H = \left( {\frac{{x + 2}}{2};\frac{{y – 3}}{2}} \right)\).

Điều kiện (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 2} \right).1 + \left( {y + 3} \right).2 = 0\\\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y – 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y + 4 = 0\\y = x + 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{3}\\x =  – \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow N = \left( { – \frac{{14}}{3};\frac{1}{3}} \right).\)

 

Bài tập 3:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : \({x^2} + {y^2} + 2{\rm{x}} – 6y + 6 = 0\)và (E) : \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) điểm I(1;2). Tìm ảnh của (O;R) và (E) qua phép đối xứng tâm I.

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E).

M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I.

Khi đó I là trung điểm của MM’ nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{x + x’}}{2}\\{y_I} = \frac{{y + y’}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 2.1 – x\\y’ = 2.2 – y\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 – x’\\y = 4 – y’\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 – x’} \right)^2} + {\left( {4 – y’} \right)^2} + 2\left( {2 – x’} \right) – 6\left( {4 – y’} \right) + 6 = 0\\\frac{{{{\left( {2 – x’} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 – y’} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – 6{\rm{x}} – 2y + 6 = 0\\\frac{{{{\left( {2 – x} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 – y} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\)

Vậy ảnh của (O;R) và (E) qua phép đối xứng tâm I có phương trình lần lượt là:

\({x^2} + {y^2} – 6{\rm{x}} – 2y + 6 = 0;\,\,\frac{{{{\left( {2 – x} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 – y} \right)}^2}}}{4} = 1\).

 

Bài tập 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (O): \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4.\) Tìm phương trình đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Hướng dẫn giải:

Tâm I của (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2.

Nếu (O’) có tâm là J và bán kính R’ là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức vectơ:

\(\overrightarrow {{\rm{OJ}}}  = 2\overrightarrow {OI}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ – 0 = 2.1\\y’ – 0 = 2.1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 2\\y’ = 2\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {2;2} \right)\).

R’=2R=2.2=4.

Vậy (O’):  \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 16\).

Leave a Reply