Ôn tập chương I – Đại số 11

1. Hệ thống hóa kiến thức chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

Ôn tập chương I - Đại số 11

2. Một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng khác và phương pháp giải

a) Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d{\rm{  (1) }}\)

(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

  • Cách 1:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a – d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c – d = 0\)  \(\left( {1′} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1′} \right)\) trở thành: \((a – d){t^2} + bt + c – d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\)

  • Cách 2: Sử dụng các công thức

\({\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}\); \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\); \(\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}\)

Phương trình (1) trở thành:

\(a\left( {\frac{{1 – \cos 2x}}{2}} \right) + b\frac{{\sin 2x}}{2} + c\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = d\)

\( \Leftrightarrow b\sin 2x + (c – a)\cos 2x = 2d – a – c\)

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

b) Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^3x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d\sin x + e\cos x + fc{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = 0{\rm{    (1)  }}\)

(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)có là nghiệm của (1) hay không

Xét\(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^3}x\)  ta được:

\(a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d\tan x(1 + {\tan ^2}x) + e(1 + {\tan ^2}x) + f = 0\)

\( \Leftrightarrow (a + d){\tan ^3}x + (b + e){\tan ^2}x + (c + d)\tan x + e + f = 0\) \(\left( {{\rm{1′}}} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {{\rm{1′}}} \right)\) trở thành:

\((a + d){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^3} + (b + e){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + (c + d){\mathop{\rm t}\nolimits}  + e + f = 0\)   (2)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)

c) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

  • Dạng 1: \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra  \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} + 2at + 2c – b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) và làm tương tự như trên.

  • Dạng 2: \(a\left( {\sin x – \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} – 2at – 2c – b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

d) Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

  1. Dạng 1: \(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x + \cot x) + c = 0\)

Phương pháp giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 2\)

Suy ra \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} – 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c – 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x + \cot x = t\)

Cách 1:

Ta có \(\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x – t.\tan x + 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{2}{t}\)

Đây là phương trình cơ bản của sin2x

  1. Dạng 2: \(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x – \cot x) + c = 0\)

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Đặt  \(t = \tan x – \cot x\). Khi đó \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x – \cot x = t\)

Cách 1:

Ta có \(\tan x – \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x – t\tan x – 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ – 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = t \Leftrightarrow \cot 2x =  – \frac{t}{2}\)

Đây là phương trình cơ bản của cot2x.

Bài tập minh họa

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 

Bài tập:

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x – \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

d) \(\cos 7x\cos 5x – \sqrt 3 \sin 2x = 1 – \sin 7x\sin 5x\)

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Khi đó (1)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {\cos ^2}x = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x + 1 = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  – 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là \(x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne  \pm 1\) (*)

Khi đó (2)\( \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} – \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin x\cos x}}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x – {\sin ^2}x = \cos 4x\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 4x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0\)

Đặt: \(t = \cos 2x,t \in \left( { – 1;1} \right)\)

Bất phương trình trở thành: \(2{t^2} – t – 1 = 0 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\,(loai){\rm{   }}}\\{t =  – \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(\cos 2x =  – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  – \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), \(x =  – \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x – \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

\( \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \sin 2x – \frac{1}{2}\left( {1 – {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 – \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} = \sin 2x – \frac{1}{2}\left( {1 – {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2\sin 2x – 3 = 0\)

Đặt \(t = \sin 2x,t \in \left[ { – 1;1} \right],\) Bất phương trình trở thành:

\({t^2} – 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  – 3\,(loai)\end{array} \right.\)

Với \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (3) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

d) \(\cos 7x\cos 5x – \sqrt 3 \sin 2x = 1 – \sin 7x\sin 5x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x} \right) – \sqrt 3 \sin 2x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x – \sqrt 3 \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3} =  – \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi {\rm{         }}}\\{x =  – \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array},} \right.{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vậy nghiệm của (4) là \(x = k\pi \), \(x =  – \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(1 – \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow {(1 – \cos 2x)^2} + {(1 – \sin 2x)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x – \frac{\pi }{4} =  – \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (5) là \(x = k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Leave a Reply