Giải bài tập ôn tập chương 1 – hình học 11

Bài tập 1 trang 34 SGK Hình học 11

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF.

a) Qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {AB} \)

b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE

c) Qua phép quay tâm O góc \({120^0}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Câu a:

Ta có: \({T_\overrightarrow {AB}}(A) = B,{T_\overrightarrow {AB}}(F) = O,{T_\overrightarrow {AB}}(O) = C\)  nên tam giác BCO là ảnh của tam giác AOF qua \({T_\overrightarrow {AB}}\)

Câu b:

\({D_{BE}}(A) = C\) (Vì tứ giác ABCO là hình thoi nên AC và BO vuông góc với nhau tại trung điểm của AC và BO)

Tương tự \({D_{BE}}(F) = D\)và \({D_{BE}}(O) = O\) (Vì O thuộc BE)

Vậy tam giác COD là ảnh của tam giác AOF qua \({D_{BE}}.\)

Câu c:

\(s{\rm{d(OA,OE) = sd(OF}},OD) = {120^0}\) và OA = OE, OF = OD nên \({Q_{(O,{{120}^0})}}(A) = (E),\,{Q_{(O,{{120}^0})}}(F) = D\) và \({Q_{(O,{{120}^0})}}(O) = O\)

Vậy tam giác EOD là ảnh của tam giác AOF qua \({Q_{(O,{{120}^0})}}\)

******************

Bài tập 2 trang 34 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình \(3x + y + 1 = 0.\) Tìm ảnh của A và d.

a) Qua phép tịnh tiến theo vecto \(\vec v = (2;1)\)

b) Qua phép đối xứng qua trục Oy

c) Qua phép đối xứng qua gốc toạ độ;

d) Qua phép quay tâm O góc \({90^0}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Câu a:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của A qua \({T_\overrightarrow {v} }\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x’ =  – 1 + 2\\y’ = 2 + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 1\\y = 3\end{array} \right.\)

Hay A’(1;3) ta thấy \(A \in d\) do đó đường thẳng d’ qua A’ và song song với d là ảnh của d qua \({T_\overrightarrow {v}}\)\(d’:3(x – 1) + 1(y – 3) = 0 \Leftrightarrow 3x + y – 6 = 0\)

Câu b:

Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng qua Oy ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x’ =  – ( – 1)\\y’ = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 1\\y = 2\end{array} \right.\) hay A’(1; 2) ta thấy \(A \in d\) nên \(A’ \in d’\) là ảnh của d qua phép đối xứng qua Oy.

Cho \(M(0; – 1) \Rightarrow M \in d\) gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng qua Oy do đó \(d’:3(x – 1) – 1(y – 2) = 0 \Leftrightarrow 3x – y – 1 = 0\)

Câu c:

Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng qua gốc toạ độ, khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}x’ =  – ( – 1)\\y’ =  – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 1\\y =  – 2\end{array} \right.\) hay A’(1;-2), ta thấy \(A \in d\)nên đường thẳng d’ đi qua A’ và song song với d là ảnh của d qua phép đối xứng qua góc toạ độ \(d’:3(x – 1) + 1(y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + y – 1 = 0\)

Câu d:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của A qua \({Q_{(0,{{90}^0})}}\) ta có \(\overrightarrow {OA’}  = (x’;y’),\,\overrightarrow {OA}  = ( – 1;2) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA’} } \right| = \sqrt {x{‘^2} + y{‘^2}} \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{{( – 1)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 .\) Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OA’}  = 0\\\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA’} } \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – x’ + 2y’ = 0\\\sqrt 5  = \sqrt {x{‘^2} + y{‘^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 2\\y’ = 1\end{array} \right.\,\,{\rm{or}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}x’ =  – 2\\y’ =  – 1\end{array} \right.\)

Nhưng góc quay dương nên A’(-2; -1) gọi \(d’ = {Q_{(O,{{90}^0})}}(d)\) ta có \(d’ \bot d\). Suy ra \(\overrightarrow n  = ( – 1;3)\) là vecto pháp tuyến của d’

Do đó \(d’: – 1(x + 2) + 3(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x – 3y – 1 = 0\) (Vì \(A’ \in d’\))

****************

Bài tập 3 trang 34 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3;- 2), bán kính 3.

a) Viết phương trình của đường tròn đó.

b) Viết phương trình của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vecto \(\vec v = ( – 2;1)\) .

c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng qua trục Ox.

d) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng qua gốc toạ độ.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Câu a:

Phương trình đường tròn tâm I(3; -2) bán kính R=3 là:

\({(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} = 9\)

Câu b:

Gọi \(({I_1},{R_1})\) là ảnh của (I; R) qua \({T_v}\) , khi đó:

\({H_1} = \vec v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} – 3 =  – 2\\{y_1} + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{y_1} =  – 1\end{array} \right.\) hay \({I_1}(1; – 1)\) và \({R_1} = R = 3\)

Do đó đường tròn ảnh của (I; R) có phương trình:

\({(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} = 9\)

Câu c:

Gọi \(({I_2},{R_2})\)là ảnh của đường tròn (I; R) qua phép đối xứng trục Ox

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\\{y_2} = 2\end{array} \right.\) hay \({I_2}(3;2)\) và \({R_2} = R = 3\) nên \(({I_2};{R_2})\) có phương trình

\({(x – 3)^2} + {(y – 2)^2} = 9\)

Câu d:

Gọi đường tròn \(({I_3};{R_3})\)là ảnh của đường tròn (I; R) qua phép đối xứng qua gốc toạ độ, suy ra \({I_3}\) đối xứng với I qua gốc toạ độ.

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} =  – 3\\{y_3} = 2\end{array} \right.\) hay \({I_3}( – 3;2)\) và \({R_3} = R = 3\) nên \(({I_3};{R_3})\) có phương trình:

\({(x + 3)^2} + {(y – 2)^2} = 9\)

****************

Bài tập 4 trang 34 SGK Hình học 11

Cho vecto \(\vec v\), đường thẳng d vuông góc với giá của \(\vec v\). Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vecto \(\frac{1}{2}\vec v\). Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vecto \(\vec v\) là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Với M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng gọi \(M’ = {D_d}(M),M” = {D_{d’}}(M’)\)

Ta có \(MM’ \bot d,MM” \bot d”.\) Gọi I, I’ lần lượt là giao điểm của MM’ với d, d’.

Khi đó \(\overrightarrow {IM}  =  – \overrightarrow {IM’} ,\,\overrightarrow {I’M’}  =  – \overrightarrow {I’M’} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {MM”}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IM’}  + \overrightarrow {M’I’}  + \overrightarrow {I’M’} \)

\[ = 2\overrightarrow {IM’}  + 2\overrightarrow {M’I’} \]

\( = 2(\overrightarrow {IM’}  + \overrightarrow {M’I’} ) = 2\overrightarrow {II’} \)

Mà \(\overrightarrow {II’}  = \frac{1}{2}\vec v\) nên \(\overrightarrow {MM’}  = 2.\frac{1}{2}.\vec v = \vec v\)

Vậy phép tịnh tiến theo vecto \(\vec v\)đã được phân tích thành hai phép đối xứng trục.

*********************

Bài tập 5 trang 35 SGK Hình học 11

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Giải bài tập ôn tập chương 1 – hình học 11

Xét phép đối xứng trục \({D_{{\rm{IJ}}}}\) vì ABCD là hình chữ nhật nên \({\rm{IJ}} \bot AB\) và IA = IB (I là trung điểm của AB, J là trung điểm CD)

Do đó \({D_{{\rm{IJ}}}}(A) = B\)

Tương tự: \({D_{{\rm{IJ}}}}{\rm{(E}}) = F\)

Vì O thuộc IJ nên \({D_{{\rm{IJ}}}}{\rm{(O}}) = O\)

Xét phép vị tự \({V_{(B;2)}},\) ta có \({V_{(B;2)}}(B) = B\)

Vì F và O lần lượt là trung điểm của BC và BD nên \({V_{(B;2)}}(F) = C,{V_{(B;2)}}(O) = D\)

Vậy tam giác BCD là ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng trên.

*********************

Bài tập 6 trang 35 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính 2. Viết phương trình ảnh của  đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Gọi đường tròn \(({I_1};{R_1})\) là ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép vị tự \({V_{(O,3)}}.\)

Khi đó \(\overrightarrow {O{I_1}}  = 3\overrightarrow {OI}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{y_1} =  – 9\end{array} \right.\) hay \({I_3}(3;9)\) và \({R_1} = 3.2 = 6\)

Gọi đường tròn \(({I_2};{R_2})\)là ảnh của đường tròn \(({I_1};{R_1})\) qua phép đối xứng trục qua trục Ox.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1}\\{y_2} =  – {y_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\\{y_2} = 9\end{array} \right.\) hay \({I_2}(3;\,\,9)\)

Và \({R_2} = {R_1} = 6\) do đó đường tròn \(({I_2};{R_2})\) có phương trình:

\({(x – 3)^2} + {(y – 9)^2} = 36\) là ảnh của đường tròn (I;2) qua phép đồng dạng nói trên.

**************

Bài tập 7 trang 35 SGK Hình học 11

Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O), dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Giải bài tập ôn tập chương 1 – hình học 11

Tứ giác MABN là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} \)

Vậy N là ảnh của điểm M qua \({T_\overrightarrow {AB}}\)

Vì \(M \in (O)\) nên \(N \in (O’)\) là ảnh của đường tròn (O) qua \({T_\overrightarrow {AB}}\)

Leave a Reply