Giải bài tập SGK bài ôn tập chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Giải bài tập SGK bài ôn tập chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, Chương 1 đại số 11 cơ bản.

>>>>>>>>>>

 

Bài tập 1 trang 40 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?

b) Hàm số \(y=tan\left ( x+\frac{\pi }{5} \right )\) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Phương pháp giải:

  • Hàm số \(y = f(x)\) là hàm số chẵn nếu thỏa cả 2 điều kiện sau:
    • Gọi D là tập xác định thì: \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D.\)
    • \(\forall x \in D\) thì \(f( – x) = f(x).\)
  • Hàm số \(y = f(x)\) là hàm số lẻ nếu thỏa cả 2 điều kiện sau:
    • Gọi D là tập xác định thì: \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D.\)

\(\forall x \in D\) thì \(f( – x) =  – f(x).\)
​Lời giải:

Câu a:

Hàm số y = cos3x là hàm số chẵn. Thật vậy:

Tập xác định của hàm số: D = R.

+ \(\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -x\in \mathbb{R}\)

+ \(\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow y(-x) =cos(-3x)=cos3x=y(x)\)

⇒ hàm số y = cos3x là hàm số chẵn.

Câu b:

Hàm số \(y=tan\left ( x+\frac{\pi }{5} \right )\) không phải là hàm số lẻ. Thật vậy:

Với \(x=\frac{\pi }{5}\Rightarrow f(-x)=tan \left ( -\frac{\pi }{5}+\frac{\pi }{5} \right )\)

\(= tan 0=0\neq -f(x)=-tan\frac{2\pi }{5}\)

⇒ Hàm số \(y=tan\left ( x+\frac{\pi }{5} \right )\) không phải là hàm số lẻ.

 

Bài tập 2 trang 40 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi }{2};2\pi \right ]\) để hàm số đó:

a) Nhận giá trị bằng -1.

b) Nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi }{2};2\pi \right ]\), ta có:

Giải bài tập SGK bài ôn tập chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Câu a: 

sinx = -1 khi \(x=-\frac{\pi }{2};x=\frac{3\pi }{2}.\)

Câu b:

sin x < 0 khi \(x\in (-\pi ;0)\cup (\pi;2 \pi).\)

 

Bài tập 3 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a) \(y=\sqrt{2(1+cosx)}+1\)

b) \(y=3sin(x-\frac{\pi }{6})-2\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Câu a:

Ta có: \(-1\leq cosx\leq 1 \ \ \ \forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow 2(1+cosx)\leq 2(1+1)=4\Rightarrow \sqrt{2(1+cosx)}+1\leq 3\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow cosx=1\Leftrightarrow x=k2 \pi.\)

Vậy Max x = 3 khi \(x=k2 \pi\)

Câu b:

Ta có \(sin\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )\leq 1\Rightarrow 3sin \left ( x- \frac{\pi }{6} \right )-2\leq 3.1-2=1\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow sin \left ( x-\frac{\pi }{6} \right )=1\Leftrightarrow x=\frac{2 \pi }{3}+k2 \pi.\)

Vậy Max y = 1 khi \(x=\frac{2 \pi}{3}+k2 \pi.\)

 

Bài tập 4 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(sin(x+1)=\frac{2}{3}\)

b) \(sin^22x=\frac{1}{2}\)

c) \(cot^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{3}\)

d) \(tan \left ( \frac{x}{12} +12x \right )=-\sqrt{3}\)​

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Câu a:

\(sin(x+1)=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x+1 = arcsin \frac{2}{3}+k2 \pi \ \ \ \ \ \\ \\ x+1= \pi -arcsin \frac{2}{3}+k2 \pi \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x =-1+ arcsin \frac{2}{3}+k2 \pi \ \ \ \ \ \\ \\ x= -1+\pi -arcsin \frac{2}{3}+k2 \pi \end{matrix}\)

Câu b:

\(sin^22x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin2x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

* \(sin2x= \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow sin2x=sin\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \ \ \\ \\ 2x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \ \ \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{8}+k\pi \ \ \\ \\ x=\frac{3\pi }{8}+k\pi \ \ \end{matrix}\)

* \(sin2x=- \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow sin2x=sin \left ( -\frac{\pi }{4} \right )\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \ \ \\ \\ 2x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \ \ \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=-\frac{\pi }{8}+k\pi \ \ \\ \\ x=\frac{5\pi }{8}+k\pi \ \ \end{matrix}\)

Câu c:

\(cot^2\frac{x}{2}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow cot \frac{x}{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}.\)

* \(cot \frac{x}{2}= \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow cot\frac{x}{2}=cot\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi.\)

* \(cot \frac{x}{2}= -\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow cot\frac{x}{2}=cot\frac{2\pi}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi.\)

Câu d:

\(tan \left ( \frac{\pi }{12} +12x\right )=-\sqrt{3}\)

\(tan \left (12x +\frac{\pi }{12}\right )=tan\frac{2 \pi}{3}\Leftrightarrow 12x +\frac{\pi }{12}= \frac{2 \pi}{3}+k \pi\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{7 \pi}{144}+\frac{k \pi}{12}.\)

 

Bài tập 5 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 25sin2x + 15sin2x + 9 cos2x = 25

c) 2 sin x + cosx = 1

d) sinx + 1,5 cotx = 0

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Câu a:

\(2cos^2x -3cosx + 1 = 0\)

Đặt \(t=cosx,- 1 \le t \le 1 \Rightarrow 2t^2-3t+1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=\frac{1}{2} \end{matrix}\) (Thỏa điều kiện)

* Với \(t=1 \Rightarrow cosx=1\Leftrightarrow x=k 2\pi\)

* Với \(t=\frac{1}{2} \Rightarrow cosx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x= \pm \frac{\pi }{3}+k 2\pi\)

Câu b:

\(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\)  (2)

Nhận thấy \(cosx =0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+ k \pi\) là nghiệm của phương trình vì \(25sin^2x=25\Leftrightarrow sin^2x =1\) luôn đúng.

Với \(cosx\neq 0\). Khi đó:

\((2)\Leftrightarrow 25tan^2x + 30 tan x + 9 =25(1+tan^2 x)\)

\(\Leftrightarrow 30tanx=16\)

\(\Leftrightarrow tanx=\frac{8}{15}\Leftrightarrow x=arctan \frac{8}{15} +k \pi\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+ k \pi; x=arctan \frac{8}{15} +k \pi\)

Câu c:

\(2sinx+cosx=1\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{5}}sinx+\frac{1}{\sqrt{5}}cosx=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Đặt \(cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}; sinx =\frac{1}{\sqrt{5}}.\)

Suy ra \(sin(x+\alpha )=\frac{1}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow sin(x+\alpha )= sin\alpha \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=k 2\pi \\ x= \pi-2\alpha +k2\pi \end{matrix}\)

Câu d:

\(sinx+1,5cotx =0\)

\(\Leftrightarrow sin^2x +\frac{3}{2}cosx=0\Leftrightarrow 1-cos^2x+ \frac{3}{2}cosx =0\)

\(\Leftrightarrow 2cos^2x-3cosx-2=0\)

Đặt \(t=cosx,- 1 \le t \le 1 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=2 (loai) \\ t=-\frac{1}{2} \end{matrix}\)

Với \(t=-\frac{1}{2} \Rightarrow cosx=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow cosx=cos\frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow x=\pm \frac{3\pi }{3}+ k2\pi\)

 

Giải bài tập trắc nghiệm

Bài tập 6 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Phương trình cosx = sin x có số nghiệm thuộc đoạn [\(-\pi;\pi\)]

(A). 2                   (B). 4                 (C). 5                   (D). 6

Gợi ý trả lời bài 6

Ta có \(cosx=sinx\Leftrightarrow sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=0 \Leftrightarrow x-\frac{\pi }{4}=k \pi\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi.\) mà \(x\in [-\pi;\pi]\Rightarrow -\pi \leq \frac{\pi }{4}+k\pi\leq \pi\Leftrightarrow -\frac{5}{4}\leq k\leq \frac{3}{4}\) mà \(k\in \mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow k=0;k=-1\)

⇒ trên [\(-\pi;\pi\)] phương trình có hai nghiệm.

Vậy A là đáp án cần tìm.

 

Bài tập 7 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Phương trình \(\frac{cos4x}{cos2x}=tan2x\) có số nghiệm thuộc khoảng \(\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\) là:

A. 2                  B. 3                            C. 4                                 D .5

Gợi ý trả lời bài 7

\(\frac{cos4x}{cos2x}=tan2x\Leftrightarrow cos4x=sin2x\Leftrightarrow cos4x=cos\left ( \frac{\pi }{2} -2x\right )\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 4x=\frac{\pi }{2} – 2x +k2\pi\\ \\ 4x=2x-\frac{\pi }{2} + l2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}\\ \\ x=-\frac{\pi }{4} + l\pi \end{matrix}\)

mà \(x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 0< \frac{\pi }{12}+\frac{k \pi}{3}<\frac{\pi}{2}\\ \\ 0<- \frac{\pi }{4}+ l \pi<\frac{\pi}{2} \end{matrix}\)

mà \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}\\0 <  – \frac{\pi }{4} + l\pi  < \frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\\\frac{1}{4} < l < \frac{3}{4}\end{array} \right..\)

mà \(k,l\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0, l=1.\)

Phương trình có hai nghiệm thuộc \(\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\)

Vậy (A) là đáp án cần tìm.

 

Bài tập 8 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + sin2x = cosx + 2 cos2 x là:

A.\(\frac{\pi }{6}\)           B.\(\frac{2\pi }{3}\)                   C. \(\frac{\pi }{4}\)                   D. \(\frac{\pi }{3}\)

Gợi ý trả lời bài 8

\(sinx+sin2x=cosx+2cos^2x\)

\(\Leftrightarrow (1+2cosx).sinx=cosx(1+2cosx)\)

\(\Leftrightarrow (2cosx+1).(sinx-cosx)=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2cosx +1=0\\ sinx-cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} cosx=-\frac{1}{2}\\ \\ sin\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=\pm \frac{2\pi }{3} +k2 \pi\\ \\ x=\frac{\pi }{4}+k \pi \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)

mà x dương nhỏ nhất suy ra: \(x=\frac{\pi }{4}.\)

Vậy (C) là đáp án cần tìm.

 

Bài tập 9 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2tan2x + 5tanx + 3 = 0 là:

A. \(-\frac{\pi }{3}\)           B. \(-\frac{\pi }{4}\)                   C. \(-\frac{\pi }{6}\)                      D. \(-\frac{5\pi }{6}\)

Gợi ý trả lời bài 9

Ta có \(2tan^2x+5tanx+3=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} tanx=-1\\ tanx=-\frac{3}{4} \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-\frac{\pi }{4} + k \pi\\ \\ x=arctan \left ( -\frac{3}{2} \right )+k \pi \end{matrix}\)

Mà x là âm lớn nhất \(\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}\)

(\(\arctan \left( { – \frac{3}{2}} \right) \approx  – {56^0}19’\))

Vậy (B) là đáp án cần tìm.

 

Bài tập 10 trang 41 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Phương trình 2tanx – 2 cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng \(\left ( -\frac{\pi }{2}; \pi \right )\) là:

A. 1        B. 2            C. 3            D. 4

Gợi ý trả lời bài 10

Xét phương trình: \(2tan x-2cotx-3=0\)

Điều kiện: \(\tan x.\cot x \ne 0\)

Khi đó nhân 2 vế cho \(\tan x\) ta có:

\(2tan x-2cotx-3=0\) \(\Leftrightarrow 2tan^2x-3tanx-2=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} tanx=2\\ tanx=-\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=arctan 2 + k \pi\\ x = arctan \left ( -\frac{1}{2} \right )+k\pi \end{matrix}\)

mà \(x\in \left ( -\frac{\pi }{2}; \pi \right )\Rightarrow\) trên \(\left ( -\frac{\pi }{2}; \pi \right )\) phương trình có 3 nghiệm.

Vậy (C) là đáp án cần tìm.

 

 

 

Leave a Reply