Giải bài tập SGK bài 8 Phép đồng dạng – hình học 11

Bài tập 1 trang 33 SGK Hình học 11

Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số  và phép đối xứng qua đường trung trực của BC

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Giải bài tập SGK bài 8 Phép đồng dạng - hình học 11

Gọi tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua \(V_ {\left ( B, \frac{1}{2} \right )}\), khi đó \(V_ {\left ( B, \frac{1}{2} \right )} \ (B)=B\) hay B’ trùng với B.

\(A’=V_ {\left ( B, \frac{1}{2} \right )} \ (A)\Leftrightarrow \overrightarrow{BA’}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\) hay A’ là trung điểm của BA.

\(C’=V_ {\left ( B, \frac{1}{2} \right )} \ (C)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC’}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) hay C’ là trung điểm của BC. Gọi tam giác A”B”C” là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép đối xứng qua đường trung trực d của BC, khi đó

Đd (B’) = C hay B” trùng với C.

Đd(C’) = C’ hay C” trùng với C’.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên d. A’ là điểm thoả mãn điều kiện \(\Leftrightarrow \overrightarrow{HA”}=-\overrightarrow{HA’}\) hay H là trung điểm của A’A”.

Vậy tam giác A”B”C” vừa dựng trên là ảnh của tam giác ABC.


Bài tập 2 trang 33 SGK Hình học 11

Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Giải bài tập SGK bài 8 Phép đồng dạng - hình học 11

Xét \(\Delta CKI\) ta có LJ là đường trung bình nên \(LJ=\frac{1}{2}KI=\frac{1}{2}IH\)

Do đó \(LJ=\frac{1}{2}IH (1)\)

Xét \(\Delta BCD\) ta có KI là đường trung bình nên \(KI=\frac{1}{2}DC \ (2)\)

và \(KL=\frac{1}{2}KC=\frac{1}{2}HD \ (3)\)

\(\(IJ=\frac{1}{2} IC \ \ (4)\)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có: Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IHDC qua phép đồng dạng tỉ số \(\frac{1}{2}\). Vậy hai hình thang JLKI và hình thang IHDC là đồng dạng với nhau.

***************************

Bài tập 3 trang 33 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm \(I (1;1)\) và đường trong tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường trong là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc \(45^{\circ}\) và phép vị tự tâm O,tỉ số \(\sqrt{2}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Gọi (I’; R’) là ảnh của đường tròn(I; R) (R=2) qua phép quay \(Q_{(O,45^0)}\)

Ta có: \(\overrightarrow{OI}=(1;1),\overrightarrow{OI’}=(x’;y’)\)

Vì \(I’=Q_{(O,45^0)} (I)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos {45^0} = \frac{{\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {OI’} }}{{\left| {\overrightarrow {OI} } \right|.\left| {\overrightarrow {OI’} } \right|}}\\
\left| {\overrightarrow {OI} } \right| = \left| {\overrightarrow {OI’} } \right|
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x’ + y’}}{{\sqrt 2 .\sqrt {x{‘^2} + y{‘^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\sqrt 2  = \sqrt {x{‘^2} + y{‘^2}}
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x’^2+y’^2}=x’+y’\\ \sqrt{x’^2+y’^2}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x’=0\\ y’=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) hoặc \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x’=\sqrt{2}\\ y’= 0 \end{matrix}\right.\) nhưng góc quay dương nên \(I(O; \sqrt{2})\) và theo tính chất của phép quay thì R’ = R = 2.

Gọi (I”; R”) là ảnh của (I’; R’) qua phép vị tự \(V_{(O,\sqrt{2})}\), khi đó

\(I”=V_{(O,\sqrt{2})}(I’)\Leftrightarrow \overrightarrow{OI”}=\sqrt{2}\overrightarrow{OI’}\)

Mà \(\overrightarrow{OI”}=(x”, y”), \overrightarrow{OI’}=(0;\sqrt{2})\) nên \(\left\{\begin{matrix} x”=\sqrt{2.0}\\ y”=\sqrt{2}.\sqrt{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x” =0\\ y”=2 \end{matrix}\right.\)

⇔ I”(0;2) và theo tính chất của phép vị tự thì \(R”=\sqrt{2}.R’=\sqrt{2}.2=2\sqrt{2}.\)

Vậy đường tròn (I”) có phương trình: \(x^2+(y-2)^2=8\) là của đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 2 qua phép đồng dạng nói trên.

****************

Bài tập 4 trang 33 SGK Hình học 11

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Giải bài tập SGK bài 8 Phép đồng dạng - hình học 11

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.

Gọi d là đường phân giác của góc B, xét đối xứng trục Đd ta đó: A’ = Đd(A) ⇒ A’ là giao điểm của đường thẳng đi qua A với cạnh BC, H’ = Đd(H) ⇒ H’ là giao điểm của đường thẳng đi qua H với AB.

B = Đd(B), vậy \(\Delta H’BA’\) là ảnh của \(\Delta HBA\) qua phép đối xứng trục Đd.

Ta có \(\Delta HBA, \Delta ABC\) nên \(\Delta H’BA’ \sim \Delta ABC\) do đó:

\(\frac{AB}{H’B}=\frac{AC}{H’A’}=\frac{AC}{AH}\)

Xét phép vị tự \(V_{\left ( B, \frac{AC}{AH} \right )}\), ta có:

\(A=V_{\left ( B, \frac{AC}{AH} \right )}, (H’),C=V_{\left ( B, \frac{AC}{AH} \right )} (A’), B=V_{\left ( B, \frac{AC}{AH} \right )}(B)\)

Hay \(\Delta ABC\) là ảnh của \(\Delta HBA\) qua phép đồng dạng thu được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường phân giác của góc B và phép vị tự tâm B, tỉ số \(\frac{AC}{AH}.\)

Leave a Reply