Giải bài tập SGK Bài 5 Xác suất của biến cố

Bài tập 1 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;

B: “Mặt % chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

c) Tính P(A), P(B).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Câu a:

Mô tả không gian mẫu: \(\Omega =\left \{ (i,j) \setminus 1 \leq i, j \leq 6; i, j\in \mathbb{Z} \right \}\)

Câu b:

* Biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần giao không bé hơn 10″ là: A = {(6, 4), (5, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 6)},

* Biến cố B: Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần” là: B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}.

Câu c:

Ta có

n(A) = 6 nên \(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{1}{6}\)

n(B) = 11 nên \(P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{11}{36}\)


Bài tập 2 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”;

B: “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.

c) Tính P(A), P(B).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Câu a:

Không gian mẫu:

Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}.

Câu b:

* A: “Tổng các số trên ba tầm bìa bẳng 8” là A = {(1, 3, 4)};

* B: “Các số trên ba tầm bìa là các số tự nhiên liên tiếp” là: B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}

Câu c:

Từ trên dễ có \(P(A)=\frac{1}{4};P(B)=\frac{1}{2}.\)


Bài tập 3 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Để đơn giản ta ký hiệu: Ti, Pi là hai chiếc giày của một đôi giày cỡ \(i(1\leq 1,i\in \mathbb{Z})\). Khi đó không gian mẫu sẽ là:

\(\Omega =\bigg \{ (T_1,P_1);(T_1,T_2);(T_1,P_2);(T_1,T_3);\) \((T_1,P_3);(T_1,T_4);(T_1,P_4);(P_1;T_2); (P_1,P_2)\)

\(;(P_1;T_3); (P_1,P_3);(P_1;T_4); (P_1,P_4);….\bigg \}\)

Khi đó \(n(\Omega )=28\)

Biến cố A lấy được một đôi giày là: \(A=\left \{ (T_1,P_1);(T_2,P_2);(T_3,P_3);(T_4,P_4) \right \}\)

Do đó n(A) = 4.

Vì vậy \(P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}.\)


Bài tập 4 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm

b) Phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Xét phương trình: \(x^2+bx+2=0 (*)\) có \(\Delta =b^2-8\) (b nguyên dương).

(*) có nghiệm \(\Leftrightarrow b\in \left \{ 3,4,5,6 \right \}=A_1\)

(*) vô nghiệm \(\Leftrightarrow b\in \left \{ 1,2 \right \}=A_2\)

(*) có nghiệm \(\Leftrightarrow b\in \left \{ 3 \right \}=A_3\)

Khi gieo con súc sắc ta có không gian mẫu là: \(\Omega =\left \{ 1,2,3,4,5.6 \right \}\)

Xác suất của biến cố A1 là: \(P(A_1)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow (*)\) có nghiệm với xác suất là \(\frac{2}{3}.\)

Xác suất của biến cố A2 là \(P(A_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow (*)\) vô nghiệm với xác suất là \(\frac{1}{3}\).

Xác suất của biến cố A3 là \(P(A_3)=\frac{1}{6}\Leftrightarrow (*)\) có nghiệm nguyên với xác suất là \(\frac{1}{6}\)


Bài tập 5 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Từ cỗ bài tứ lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a) Cả bốn con đều là át;

b) Được ít nhất một con át;

c) Được hai con át và hai con K.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Số cách rút 4 con bài trong cỗ bài 52 con là: \(C_{52}^{4}=270725\)

Câu a:

Vì cả cỗ bài 52 con chỉ có 4 con át nên số cách rút ra 4 con đều là át là 1, do đó xác suất của biến cố này là: \(P_1=\frac{1}{270 725}.\)

Câu b:

Gọi A là biến cố trong 4 con bài rút ra có ít nhất 1 con là át. Khi đó \(\overline{A}\) là biến cố cả 4 con rút ra đều không phải là át. Khi đó \(n(\overline{A})=C^{4}_{48}\) (bằng số cách bỏ 4 con át ra ngoài cỗ bài sau đó rút bất kỳ cùng một lúc 4 con bài).

Do đó \(P(\overline{A})=\frac{C^{4}_{48}}{C^{4}_{52}}\)

\(\Rightarrow P(A)=1-\frac{C^{4}_{48}}{C^{4}_{52}}= \frac{C^4_{52}-C^4_{48}}{C_{52}^{4}}\Rightarrow P(A)\approx 0,28126.\)

Câu c:

Số cách rút được 2 con át và 2 con K là: C24 C24 = 6 . 6 = 36.

Suy ra  \(P(C) =\frac{36}{270725}\approx 0,000133.\)


Bài tập 6 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Câu a:

giả sử hai bạn nam là T1, T2; hai bạn nữa là G1, G2. Mỗi một cách xếp 4 bạn ngồi vào 4 ghế chính là một hoán vị vủa 4 phần tử T1, T2, G1, G2. Do đó số phần tử của không gian mẫu là 4! = 24.

Ta quy ước dãy ghế thứ nhất gồm hai ghế được đánh số là ghế 1 và ghế 2. Dãy thứ hai gồm hai ghế còn lại được đánh số là ghế 3 và ghế 4. Trong đó người ngồi ở ghế 1 đối diện người ngồi ghế 3, người ngồi ghế 2 đối diện với người ngồi ghế 4. Khi đó biến cố nam, nữ ngồi đối diện nhau sẽ có 16 phần tử:

(T1, T2,G1,G2); (T1,T2,G2,G1); (T1,G1,G2,T2); (T1,G2,G1,T2)

(T2, T1,G1,G2); (T2,T1,G2,G1); (T2,G1,G2,T1); (T2,G2,G1,T1)

(G1,G2,T1,T2); (G1,G2,T2,T1); (G1,T1,T2,G2);(G1,T2,T1,G2)

(G2,G1,T1,T2); (G2,G1,T2,T1); (G2,T1,T2,G1);(G2,T2,T1,G1)

Vì thế xác suất của biến cố này là: \(P_1=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.\)

Câu b:

Nhận thấy biến cố nữ ngồi đối diện nhau chính là biến cố nữ ngồi đối diện nhau và nam ngồi đối diện nhau. Đây chính là biến cố đối của biến cố nam và nữ ngồi đối diện nhau. Vì vậy xác suất của biến cố nữ ngồi đối diện nhau là P2 và \(P_2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.\)


Bài tập 7 trang 75 SGK Đại số & Giải tích 11

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trằng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trằng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trằng”;

B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.

a) Xét xem A và B có độc lập không.

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Câu a:

Rõ ràng sự xảy ra của biến cố lấy ở hộp thứ nhất của quả cầu trắng không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố lấy ở hộp thứ hai quả cầu màu trắng nên hai biến cố này là độc lập.

Câu b:

Ta có số khả năng lấy được quả cầu trắng từ hộp thứ nhất là 6.

Do đó, ta có \(P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.\) Tương tự như vậy ta tính được \(P(B)=\frac{2}{5}\).

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên đặt \(C=A\cap B\), ta có \(P(C)=P(A), P(B)=\frac{6}{25}\)

Như vậy xác suất để lấy được hai quả đều màu trắng là \(\frac{6}{25}\)

Tương tự như vậy, xác suất lấy được hai quả cùng màu đen (mỗi quả ở mỗi hộp) cùng là \(\frac{6}{25}\)

Vì các biến cố “hai quả cùng màu đen”, “hai quả cùng màu trắng” là xung khắc nên theo công thức xác suất ta có: xác suất để hai quả cầu cùng màu là: \(P=\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}\)

Câu c:

Biến cố “2 quả cầu lấy ra khác màu” là biến cố đổi của biến cố “2 quả cầu lấy ra cùng màu” nên xác suất của biến cố này là:

\(P=1-\frac{12}{25}=\frac{13}{25}.\)

Leave a Reply