Giải bài tập SGK bài 3 Phương trình lượng giác thường gặp

Giải bài tập SGK bài 3 Phương trình lượng giác thường gặp

**************

Bài tập 1 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình: \(\small sin^2x – sinx = 0\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Xét phương trình \({\sin ^2}x – \sin x = 0\)

Đặt \(t = \sin x, – 1 \le t \le 1.\) Phương trình trở thành:

\({t^2} – t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1\end{array} \right.\) (Thỏa điều kiện)

\(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=0\\ sinx=1 \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=k\pi \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi \end{matrix}, (k\in Z)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=k\pi \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi \end{matrix}, (k\in \mathbb{Z})\).

 

Bài tập 2 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(\small 2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\);

b) \(\small 2sin2x + \sqrt{2}sin4x = 0\).

 

 

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Câu a:

\(2cos^2x-3cosx+1=0\)

Đặt \(t=cosx,-1

Ta có phương trình \(2t^2-3t+1=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=\frac{1}{2} \end{matrix}\) (nhận)

  • \(t=1\Leftrightarrow cosx=1\Leftrightarrow x=k2\pi, k\in \mathbb{Z}\)
  • \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow cosx=\frac{1}{2} \Leftrightarrow cosx=cos\frac{\pi }{3},x=\pm \frac{\pi }{3}+k2 \pi, k\in \mathbb{Z}\)

 

Câu b:

\(2sin2x+\sqrt{2}sin4x=0\)

\(\Leftrightarrow 2sin2x+2\sqrt{2}sin2x.cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow 2sin2x(1+\sqrt{2}cos2x)=0\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} sin2x=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ \cos 2x =  – \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} sin2x=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ cos2x=cos\frac{3\pi }{4} \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=k\ pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi,k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z} \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x= \pm \frac{3\pi}{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z} \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x=\pm \frac{3\pi}{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

 

Bài tập 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(sin^2(\frac{x}{2}) – 2cos(\frac{x}{2}) + 2 = 0\);

b) \(\small 8cos^2x + 2sinx – 7 = 0\);

c) \(\small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\);

d) \(\small tanx -2cotx + 1 = 0\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Câu a:

\(sin^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+2=0\Leftrightarrow 1-cos^2\frac{x}{2}- 2cos\frac{x}{2}+2=0\)

\(\Leftrightarrow cos^2\frac{x}{2}+2cos\frac{x}{2}-3=0\)

Đặt \(t=cos\frac{x}{2},-1\leq t\leq 1\), ta có phương trình:

\(t^2+2t-3=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-3 \ \ (loai) \end{matrix}\)

\(t=1\Leftrightarrow cos\frac{x}{2}=1\Leftrightarrow \frac{x}{2}=k2\pi,k\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x=k 4 \pi, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=k 4 \pi, k\in \mathbb{Z}\)

Câu b:

\(8cos^2x+2sinx-7=0\Leftrightarrow 8(1-sin^2x)+2sinx-7=0\)

\(\Leftrightarrow 8-8sin^2x+2sinx-7=0\)

\(\Leftrightarrow 8sin^2x-2sinx-1=0\)

Đặt \(t=sinx,-1\leq t\leq 1\), ta có phương trình:

\(8t^2-2t-1=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{1}{2}\\ \\ t=-\frac{1}{4} \end{matrix} (nhan)\)

  • \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{matrix} k\in \mathbb{Z}\)
  • \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow sinx=-\frac{1 }{4}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=arcsin \left (-\frac{1 }{4} \right )+k2\pi , k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi -arcsin \left (-\frac{1 }{4} \right )+k2\pi , k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi\\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi\\ x=arcsin \left ( -\frac{1}{4} \right )+k2\pi \\ x=\pi -arcsin \left ( -\frac{1}{4} \right )+k2\pi \end{matrix},k\in \mathbb{Z}\)

Câu c:

\(2tan^2x+3tanx+1=0\)

Đặt t = tanx (điều kiện \(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathbb{Z}\))

Ta có phương trình: \(2t^2+3t+1=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=-\frac{1}{2} \end{matrix}\)

\(t=-1\Rightarrow tanx=-1\Rightarrow tanx=-tan\frac{\pi }{4}\)

\(\Rightarrow tanx=tan\left ( -\frac{\pi }{4} \right )\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4} +k \pi\) (thoả điều kiện)

\(t=\frac{1}{2}\Rightarrow tanx=\frac{1}{2}\Rightarrow x=arctan \left ( \frac{1}{2} \right ) +k \pi\) (thoả điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-\frac{\pi }{4} +k \pi \\ \\ x=arctan \left ( \frac{1}{2} \right )+k \pi \end{matrix}, (k\in \mathbb{Z})\)

Câu d:

\(tanx-2cotx+1=0\)

Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\\ x\neq k \pi \end{matrix}\right.\) hay \(x\neq k\frac{\pi }{2}, k\in \mathbb{Z}\)

Đặt t = tanx, ta có phương trình:

\(t-\frac{2}{t}+1=0\Rightarrow t^2+t-2=0\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-2 \end{matrix}\)

  • \(t=1\Rightarrow tanx=1\)

\(\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)

  • \(t=-2\Rightarrow tanx=-2\Rightarrow x=arctan(-2)+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-2)+k \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

 

Bài tập 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(\small 2sin^ 2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0\)

b) \(\small 3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)

c) \(\small 3sin^2x – sin2x + 2cos^2x = \frac{1}{2}\)

d) \(\small 2cos^2x -3\sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Phương pháp giải:

Xét phương trình: \(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d \)

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a – d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c – d = 0\)  \(\left( {1′} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1′} \right)\) trở thành: \((a – d){t^2} + bt + c – d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\).

Lời giải:

Câu a:

Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta được:

\(\Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} tan x = 1\\ \\ tan x = -\frac{3}{2} \end{matrix}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \frac{\pi }{4}+k \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x= arctan\left (-\frac{3}{2} \right )+k \pi \end{matrix} , k\in \mathbb{Z}\)

Câu b:

Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình:

\(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2\), nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: \(3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x)\)

\(\Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0\)

Đặt t = tanx

Ta có phương trình \(t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=3 \end{matrix}\)

\(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\).

\(t=3\Rightarrow tanx=3\Rightarrow x= arctan(3)+k \pi, (k\in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x= arctan(3)+k \pi \end{matrix} , (k\in \mathbb{Z})\)

Câu c:

\(sin^2x+sin2x-2cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}\)  (3)

* \(cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) không là nghiệm của (3)

* \(cosx\neq 0\), chia hai vế của (3) cho \(cos^2x\), ta được:

\(\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{2sinx}{cosx}-2=\frac{1}{2cos^2x}\Rightarrow tan^2x+2tanx-2=\frac{1}{2}(1+tan^2x)\)

\(\Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x\)

\(\Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0\)

Đặt t = tanx, ta có phương trình:

\(t^2+4t-5=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-5 \end{matrix}\)

  • \(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)
  • \(t=-5 \Rightarrow tanx=-5\Rightarrow x=arctan(-5)+k\pi, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

Câu d:

\(2cos^2x – 3\sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4\)

\(\Leftrightarrow 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0\)

\(\Leftrightarrow 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx – 4+4cos^2x+4= 0\)

\(\Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=2\)

\(\Leftrightarrow 6cosx(cosx – \sqrt{3}sinx) = 0\)

\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ \\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\\ \\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

 

Bài tập 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(\small cosx – \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)

b) \(\small 3sin3x – 4cos3x = 5\)

c) \(\small 2sin2x + 2cos2x -\sqrt{2} = 0\)

d) \(\small 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Phương pháp giải:

  • Xét phương trình: \(a\sin x + b\cos x = c{\rm{  (1)}}\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

Phương trình trở thành:

\(\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x – \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

  • Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải:

Câu a:

\(\cos x – \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}.\cos x – \cos \frac{\pi }{6}.\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} – x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} – x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x =  – \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Câu b:

\(3\sin 3x – 4\cos 3x = 5 \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 3x – \frac{4}{5}\cos 3x = 1.\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{3}{5},\,\sin \alpha  = \frac{4}{5},\) suy ra:

\(\sin (3x – \alpha ) = 1 \Leftrightarrow 3x – \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\alpha }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}2\sin x + 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  – \sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}5\cos 2x + 12\sin 2x – 13 = 0\\ \Leftrightarrow 12\sin 2x + 5\cos 2x = 13\\ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{13}}\sin 2x + \frac{5}{{13}}\cos 2x = 1\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \sin (2x + \alpha ) = 1\)  \(\left( {\sin \alpha  = \frac{5}{{13}};\,\cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} – \frac{\alpha }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

 

Bài tập 6 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình:

a. \(\small tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1\)

b. \(\small tanx + tan(x + \frac{\pi }{4}) = 1\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Phương pháp giải:

Câu a: Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) và \(\cos (a + b) = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b\) để biến đổi phương trình.

Câu b: Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\); \(\sin (a + b) = \sin a.\cos b + {\mathop{\rm cosa}\nolimits} .\sin b\) và \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a – b)} \right]\) để biến đổi phương trình.

Lời giải:

Câu a:

Với điều kiện \(\left\{\begin{matrix} 2x+1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi\\ \\ 3x-1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}\) hay \(\left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{2}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{3} \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1\)

(1) \(\Leftrightarrow \frac{sin(2x+1)sin(3x-1)}{cos(2x+1)cos(2x-1)}=1\)

\( \Rightarrow \cos(2x+1) \cos(3x-1)-\sin(2x+1) \sin(3x-1) =0\)

\(\Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)\Leftrightarrow cos5x=0\)

\(\Leftrightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}.\)

Câu b:

Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} cosx\neq 0\\ cos(x+\frac{\pi }{4})\neq 0 \end{matrix}\right.\)

Khi đó \(tanx+tan\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=1\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+cosx.sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )= cosx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )\)

\(\Leftrightarrow sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{2} \left [ cos\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) +cos \left ( – \frac{\pi }{4}\right )\right ]\)

\(\Leftrightarrow 2sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )-cos\left (2 x+\frac{\pi }{4} \right )= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{5}}sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) -\frac{1}{\sqrt{5}}cos \left (2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}\)

\(\Leftrightarrow sin\left (2x+\frac{\pi }{4} -\alpha \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi\\ \\ 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = \pi – arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x= \frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{8}+ \frac{1}{2}arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi\\ \\ x = \frac{\alpha }{2}+\frac{3\pi }{8}- \frac{1}{2} arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi \end{matrix}, k\notin \mathbb{Z}\)

Leave a Reply