Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

****************

Bài tập 1 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

 

Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn  \(\small \left [- \pi ;\frac{3 \pi }{2} \right ]\) để hàm số \(\small y = tanx\);

a) Nhận giá trị bằng 0

b) Nhận giá trị bằng 1

c) Nhận giá trị dương

d) Nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu a:

\(tanx = 0\) tại \(x = – \pi; x = 0 ; x = \pi\).

Câu b:

\(tanx = 1\) tại \(x=-\frac{3\pi }{4};x=\frac{\pi }{4};x=\frac{5\pi }{4}\)

Câu c:

\(tanx > 0\) khi \(x\in (-\pi ;-\frac{\pi }{2})\cup (0 ;\frac{\pi }{2})\cup (\pi ;\frac{3\pi }{2})\)

Câu d:

\(tanx< 0\) khi \(x\in (-\frac{\pi }{2};0); (\frac{\pi }{2};\pi )\).

 

Bài tập 2 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(\small y=\frac{1+cosx}{sinx}\) ;

b)  \(\small y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\) ;

c)  \(\small y=tan(x-\frac{\pi }{3})\) ;

d)  \(\small y=cot(x+\frac{\pi }{6})\) .

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Nhận xét:

Cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số phân thức, hàm số chứa dấu căn, điều kiện tồn tại của hàm số tan và cot.

Câu a:

Hàm số \(y=\frac{1+cosx}{sinx}\) xác định khi \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x \neq k \pi,k\in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\)

Câu b:

Hàm số \(y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\) xác định khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{1+cosx}{1-cosx}\geq 0\\ \\ 1-cosx\neq 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow 1-cosx> 0(do \ \ 1+cosx\geq 0)\)

\(\Leftrightarrow cosx\neq 1 \Leftrightarrow x \neq k2 \pi,k\in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k 2 \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\)

Câu c:

Hàm số xác định khi \(cos\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )\neq 0\) xác định khi:\(x-\frac{\pi }{3}\neq \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\neq \frac{5\pi }{6}+k\pi (k\in Z)\)

Vậy tập xác định của hàm số \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{5\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\)

Câu d:

Hàm số xác định khi \(sin \left ( x+\frac{\pi }{6} \right )\neq 0\) xác định khi \(x+\frac{\pi }{6}\neq k\pi \Leftrightarrow x\neq -\frac{\pi }{6}+k\pi,k\in Z\)

Vậy tập xác định của hàm số là  \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\)

 

Bài tập 3 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số \(\small y = sinx\), hãy vẽ đồ thị của hàm số \(\small y = |sinx|\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Phương pháp giải:

Để xác định đồ thị hàm số \(y=|f(x)|\) khi biết đồ thị hàm số \(y=f(x)\) ta thực hiện các bước sau:

+ Giứ nguyên phần trên trục hoành của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị dưới trục hoành của hàm số \(y=f(x)\).

+ Xóa bỏ phần đồ thị bên dưới trục hoành đi, ta được đồ thị hàm số y=|f(x)|.

Lời giải:

Áp dụng nhận xét trên ta có lời giải chi tiết bài 3 như sau:

Ta có \(\left | sinx \right |=\left\{\begin{matrix} sinx \ \ neu \ \ sinx \geq 0\\ -sinx \ \ neu \ \ sinx < 0 \end{matrix}\right.\)

Mà \(sinx< 0\Leftrightarrow x\in \left \{ \pi +k2 \pi;2\pi+k2\pi \right \},k\in \mathbb{Z}.\)

Nếu lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị y = sinx trên các khoảng này và giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sinx trên các khoảng còn lại ta có đồ thị hàm số y = |sinx|.

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

 

Bài tập 4 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng \(\small sin2(x + k \pi ) = sin 2x\) với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(\small y = sin2x\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Để vẽ được đồ thị hàm số lượng giác ta cần tìm được chu kì tuần hoàn của hàm số đó:

Trong bài này ta áp dụng nhận xét sau: Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\).

Lời giải:

Ta có \(sin2(x+k\pi)=sin(2x+2k \pi)=sin2x, k\in \mathbb{Z}\).

Từ đó suy ra hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn chu kì \(\pi\), mặt khác y = sin2x là hàm số lẻ, do đó ta vẽ đồ thị hàm số y = sin2x trên \(\left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ]\), rồi lấy đối xứng qua O ta có đồ thị trên \(\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]\) rồi sử dụng phép tịnh tiến  \(\vec{v}= (\pi; 0)\) và \(-\vec{v}= (-\pi; 0)\) ta được đồ thị hàm số y = sin2x.

Xét y = sin2x trên \(\left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ]\) ta có bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

suy ra trên \(\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]\), y = sin2x có đồ thị dạng:

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

Do vậy đồ thị y = sin2x có dạng:

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

 

 

Bài tập 5 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx = Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác .

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

* Vẽ đồ thị hàm số y = cosx và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

* Để \(cosx=\frac{1}{2}\) thì đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) cắt đồ thị y = cosx. Dựa vào đồ thị suy ra \(cosx=\frac{1}{2}\) khi \(x\in \left \{ ….;-\frac{7\pi }{3};-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3};…\right \}\) hay \(x=\pm \frac{\pi }{3}+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\)

 

Bài tập 6 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

* Vẽ đồ thị hàm số y = sinx.

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

* Dựa vào đồ thị, suy ra y = sinx nhận giá trị dương khi: \(x\in \left \{ …;(-2\pi ;-\pi );(0;\pi );(2\pi ;3\pi );… \right \}\) hay \(x\in \left \{ k2 \pi; \pi + k2 \pi \right \}\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

 

Bài tập 7 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

* Vẽ đồ thị hàm số y = cosx.

Giải bài tập SGK bài 1 Hàm số lượng giác

* Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra y = cosx nhận giá trị âm khi:

\(x \in \left \{ …\left ( -\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2} \right ); \left ( -\frac{5\pi}{3};-\frac{3\pi}{2} \right ); \left ( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ); \left (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right ) ; \left (\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right );… \right \}\)

hay \(x\in \left ( \frac{\pi }{2}+k2 \pi;\frac{3\pi}{2}+k2\pi \right ),k\in Z\)

 

Bài tập 8 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

a) \(y=2\sqrt{cosx}+1\)

b) \(y=3-2sinx.\)

 

Hướng dẫn giải chi tiết bài 8

Câu a:

Ta có \(cosx \leq 1 \ \forall x.\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{cosx}+1\leq 2.\sqrt{1}+1=3\)

⇒ max y =3 khi cosx = 1 hay khi \(x = k \pi\)

Câu b:

Ta có \(sinx\geq -1 \ \ \forall x\Rightarrow 3-2sinx\leq 3+2.1=5\)

Vậy max y = 5 khi sinx = -1 hay \(x=-\frac{\pi }{2}+k2 \pi.\)

 

Leave a Reply