Giải bài tập Ôn chương II Tổ hợp Xác suất

Câu 1: Trang 76 – SGK toán 11

Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp dụng

Hướng dẫn giải:

Quy tắc cộng

  • Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động . Nếu hàng động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có  m + n cách thực hiện.

Ví dụ:

Trên một bàn học có 4 cây bút chì và 3 cây bút mực. Có mấy cách chọn ra một cây bút?

  • Trường hợp chọn bút chì: có 4 cách chọn
  • Trường hợp chọn bút mực: có 3 cách chọn

Vậy theo quy tắc cộng có: 4 + 3 = 7 cách chọn.

*************

Câu 2: Trang 76 – SGK toán 11

Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng

Hướng dẫn giải:

Quy tắc nhân

  • Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Ví dụ
Một lớp có 3 tổ, mỗi tổ có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội?

Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người:

  • Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ nhất
  • Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ hai
  • Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ ba

Từ đó, theo quy tắc nhân ta có:

10. 10. 10 = 1000 (cách chọn)

***********************

Câu 3: Trang 76 – SGK toán 11

Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử.

Hướng dẫn giải:

Chỉnh hợp chập k (Sắp xếp thứ tự các phần tử)

  •  Sử dụng k phần tử trong số n phần tử của A (k ≤ n) và sắp xếp thứ tự k phần tử này (mỗi cách sắp xếp là một chỉnh hợp chập k của phần tử)
  • Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

\(A_n^k = {{n!} \over {(n – k)!}}\)

Tổ hợp chập k ( Không chú ý đến thứ tự của các phần tử)

  • Sử dụng k phần tử trong n phần tử A (k ≤ n) và không để ý đến thứ tự của các phần tử này.
  • Số tổ hợp chập k của n phần tử là:

\(C_n^k = {{n!} \over {k!(n – k)!}}\)

****************

Câu 4: Trang 76 – SGK toán 11

Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau

b) Các chữ số khác nhau.

Hướng dẫn giải:

Tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) Gọi số có 4 chữ số tạo thành là \(\overline {abcd}\) và a, b,c ,d có thể giống nhau:

Ta có: \(\overline {abcd} \) chẵn nên:

  • Có 4 cách để chọn d
  • a ≠ 0 ⇒ có 6 cách chọn a
  • có 7 cách chọn b và 7 cách chọn c

Theo quy tắc nhân : 4.6.7.7 = 1176 số chẵn \(\overline {abcd} \).

b) Gọi \(\overline {abcd} \)  là số cần tìm

TH 1: \(\overline {abc0} (d = 0)\)

Vì a, b, c đôi một khác nhau và khác d nên có A63 số \(\overline {abc0} \)

Vậy có A63 số \(\overline {abc0} \)

TH 2:  \(\overline {abcd} \) (với d ≠ 0)

có 3 cách chọn d

  • a ≠ 0, a ≠ d nên có 5 cách chọn a
  • b ≠ a, b ≠ d nên có 5 cách chọn b
  • c ≠ a, b, d nên có 4 cách chọn c

⇒ Có 3. 5. 5. 4 = 300 số  \(\overline {abcd} \)

Vậy có: A63 + 300 = 420 số  \(\overline {abcd} \) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

********************

Câu 5: Trang 76 – SGK toán 11

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu của phép thử là: \(n(\Omega ) = 6! = 720\)

a) Gọi A là biến cố : “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

Ta đánh số ghế lần lượt từ 1 đến 6:

  • TH 1: Nam ngồi ghế 1, 3, 5 và nữ ngồi ghế 2, 4, 6

=> có 3!.3! = 36 cách xếp

  • TH 2: Nam ngồi ghế 1, 3, 5 và nữ ngồi ghế 2, 4, 6

=> có 3!.3! = 36 cách xếp

=>n(A) = 3!.3! + 3!.3! = 36 + 36 = 72 cách xếp.

Xác suất của biến cố A: \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{72} \over {720}} = {1 \over {10}} = 0,1\)

b) Gọi biến cố B: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”

Gọi 3 bạn nam là một phần tử N.

Số cách xếp N và 3 nữ vào 4 ghế là 4!

=>n(B) = 4!.3!=144

Xác suất của B là :  \(P(B) = {{n(B)} \over {n(\Omega )}} = {{144} \over {720}} = {1 \over 5} = 0,2\)

********************

Câu 6: Trang 76 – SGK toán 11

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng màu

b) Có ít nhất một quả màu trắng

Hướng dẫn giải:

Xét phép thử: “lấy 4 quả cầu trong hộp có 10 quả cầu”

Số phần tử trong không gian mẫu là : \(n(\Omega ) = C_{10}^4 = 210\)

a) Gọi A là là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng màu”

Có C64 cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có C44 cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu đen.

=>n(A) = C6+ C44 = 16

Xác suất biến cố A xảy ra là:

\(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{16} \over {210}} = {8 \over {105}}\)

b) Gọi B là biến cố: “ Bốn quả lấy ra có ít nhất một quả màu trắng”

=> số cách lấy 4 quả đều đen là : $C_{4}^4 = 1$

$\Rightarrow n(B) = C_{10}^4 – 1 = 209$

Xác suất để biến cố B xảy ra là:

\(P(B) = {{n(B)} \over {n(\Omega )}} = {{209} \over {210}}\)

*******************

Câu 7: Trang 76 – SGK toán 11

Gieo một con xúc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.

Hướng dẫn giải:

Số phần tử trong không gian mẫu là:

$n(\Omega ) = {6^3} = 216$

Gọi A là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần”

$\overline A$ là biến cố : “Mặt sáu chấm không xuất hiện lần nào”

\(n(\overline A ) = {5^3} = 125 \Rightarrow P(\bar A) = {{n(\bar A)} \over {n(\Omega )}} = {{125} \over {216}}\)

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = 1 – P(\bar A) = 1 – {{125} \over {216}} = {{91} \over {216}} \simeq 0,4213\)

****************

Câu 8: Trang 76 – SGK toán 11

Cho một lúc giác đề ABCDEF. Viết các chữ cái ABCDEF vào 6 cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:

a) Các cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu  là số các tổ hợp chập 2 của 6 (đỉnh)

\(n(\Omega ) = C_6^2 = 15\)

a) Gọi A là biến cố: “2 điểm nối với nhau là các cạnh của lục giác”

=> n(A) = 6

=> \(P(\bar A) = {6 \over {15}} = {2 \over 5}\)

b) Gọi B là biến cố: ” 2 điểm nối với nhau là đường chéo của lục giác”

Trong lục giác 2 điểm không nối với nhau tạo thành cạnh của hình lục giác thì là đường chéo của hình lục giác đó:

=> n(B) = 15 – 6 = 9

=> \(P(B) = {9 \over {15}} = {3 \over 5}\)

c) Gọi C là biến cố : ” 2 điểm nối với nhau là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”

Lục giác có 3 cặp đỉnh đối diện => n(C) = 3

=> \(P(C) = {{n(C)} \over {n(\Omega )}} = {3 \over {15}} = {1 \over 5}\)

********************

Câu 9: Trang 77 – SGK toán 11

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a) Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu  của phép thử là : \(n(\Omega ) = {6^2} = 36\)

a) A là biến cố “Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

=> n(A) = 9

=> \(P(A) = {9 \over {36}} = {1 \over 4}\)

b) Gọi B là biến cố: “Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ”.

=> n(B) = 9

=> \(P(B) = {9 \over {36}} = {1 \over 4}\)

Leave a Reply