Giải bài tập Bài 3 Nhị thức Niu-tơn

Bài tập 1 trang 57 SGK Đại số & Giải tích 11

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:
a) \((a + 2b)^5\);

b) \(\small (a – \sqrt{2})^6\);

c) \(\small (x – \frac{1}{x})^{13}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Câu a:

Áp dụng công thức (*), ta có:

\((a + 2b)^5= C_{5}^{0}a^5+C_{5}^{1}a^4(2b)+C_{5}^{2}a^3(2b)^2\)

\(+ C_{5}^{3}a^2(2b)^3+C_{5}^{4}a(2b)^4+C_{5}^{5}(2b)^5\)

\(= a^5 + 10a^4b + 40a^3b^2 + 80a^2b^3 + 80ab^4 + 32b^5\)

Câu b:

Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

\((a – \sqrt{2})^6 = [a + (\sqrt{2})]^6\)

\(=a^6 + 6a^5 (\sqrt{2}) + 15a^4 (\sqrt{2})^2 + 20a^3 (\sqrt{2})^3\)

\(+ 15a^2 (\sqrt{2})^4 + 6a(\sqrt{2})^5 + (-\sqrt{2})^6.\)

\(= a^6 – 6\sqrt{2}a^5 + 30a^4 – 40\sqrt{2}a^3 + 60a^2 – 20\sqrt{2}a + 8.\)

Câu c:

Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

\(\left ( x-\frac{1}{x} \right )^{13}=C_{13}^{0}x^{13}-C_{13}^{1}x^{12}\frac{1}{x}+ C_{13}^{2}x^{11}\frac{1}{x^2}-C_{13}^{3}x^{10}\frac{1}{x^3}\)

\(+C_{13}^{4}x^{9}\frac{1}{x^4}-C_{13}^{5}x^{8}\frac{1}{x^5}+ C_{13}^{6}x^{7}\frac{1}{x^6} -C_{13}^{7}x^{6}\frac{1}{x^7}\)

\(+ C_{13}^{8}x^{5}\frac{1}{x^8}-C_{13}^{9}x^{4}\frac{1}{x^9}+ C_{13}^{10}x^{3}\frac{1}{x^{10}}-C_{13}^{11}x^{2}\frac{1}{x^{11}}\)

\(+C_{13}^{12}x\frac{1}{x^{12}}-C_{13}^{13}\frac{1}{x^{13}}\)

\(=x^{13}-13x^{11}+78x^{9}-286x^{7}+715x^{5}-1287x^{3}+1716x\)

\(-\frac{1716}{x}+\frac{1287}{x^3}-\frac{715}{x^5}+\frac{286}{x^7}- \frac{78}{x^9}+\frac{13}{x^{11}}-\frac{1}{x^{13}}\)


Bài tập 2 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: \(\small (x +\frac{2}{x^2} )^6\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Số hạng tổng quát của khai triển là: \(C_{6}^{k}.x^{6-k}.\left ( \frac{2}{x^2} \right )^k\)

Ta có: \(C_{6}^{k}.x^{6-k}.\left ( \frac{2}{x^2} \right )^k=2^k.C_{6}^{k}.x^{6-k}.x^{2k}= 2^k.C_{6}^{k}.x^{6-3k}\)

Số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển sẽ là \(2^k.C_{6}^{k}.x^{6-3k}\) với \(6-3k=3\).

Từ (1) ta có \(3k=6-3\Leftrightarrow 3k=3\Leftrightarrow k=1\)

Ta có: \(2^1C_{6}^{1}=2.\frac{6!}{1!(6-1)!}=2.6=12\)

Vậy hệ số của \(x^3\) trong khai triển bằng 12.


Bài tập 3 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Biết hệ số của xtrong khai triển của \(\small (1 – 3x)^n\) là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Ta có \((1-3x)^n=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}3x+C_{n}^{2}(3x)^2-C_{n}^{3}(3x)^3+…+ C_{n}^{n}(-3x)^n.\)

Từ đây, ta có hệ số của \(x^2\) là \(9C_{n}^{2}\). Do đó, ta có:

\(9C_{n}^{2}=90\Leftrightarrow C^2_n=10\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-2)!.2!}=10\Leftrightarrow n(n-1)=20\)

\(\Leftrightarrow n^2-n-10=0\Leftrightarrow n=5 (vi \ n\in \mathbb{N})\)


Bài tập 4 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \(\small (x^3 +\frac{1}{x} )^8\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Số hạng tổng quát của khai triển là: \(C_{8}^{k}(x^3)^{8-k}.\left ( \frac{1}{x} \right )^k= C_{8}^{k}x^{24-3k}x^{-k}=C_{8}^{k}.x^{24-4k}\)

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với giá trị của k là:

\(24-4k=0\Leftrightarrow k=6\)

Ta có: \(C_{8}^{6}=\frac{8!}{6!(8-6)!}=28\)

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 28.


Bài tập 5 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Từ khai triển biểu thức \(\small (3x – 4)^ {17 }\)thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Đặt \(f(x)=(3x-4)^{17}=a_{17}x^{17}+a_{16}x^{16}+…+a_{1}x+a_0\)

Ta cần tính: \(a_0+a_1+a_2+…+a_{17}\)

Dễ thấy \(f(1)=(3-4)^{17}=a_+a_1+…+a_{17}\)

\(\Leftrightarrow a_0+a_1+a_2+…+a_{17}=-1\)


Bài tập 6 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng:
a) \(\small 11^{10} – 1\) chia hết cho 100;

b) \(\small 101^{100} – 1\) chia hết cho 10 000;

c) \(\small \sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Câu a:

Ta có:

\(11^{10}- 1 = (1 + 10)^{10} =C_{10}^{0}.10^{10}+C_{10}^{1}.10^9+…\)\(+ C_{10}^{8}.10^2+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}\)

\(=100(C_{10}^{0}.10^8+C_{10}^{1}.10^7+…+ C_{10}^{8}+1)+1\)

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

Câu b:

Ta có \(101^{100}=(100+1)^{100}=C_{100}^{0}.100^{100}\)

\(+C_{100}^{1}.100^{99}+…+ C_{100}^{99}.100+C_{100}^{100}\)

\(=100^2\left [ C_{100}^{0}.100^{98}+C_{100}^{1}.100^{97}+…+1 \right ]\)

Vậy \(101^{100}=10000\left [ C_{100}^{0}.100^{98}+C_{100}^{1}.100^{97}+…+1 \right ]\) chia hết cho 10 000.

Câu c:

Ta có \((1+\sqrt{10})^{100}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+…+\)\(C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}+C_{100}^{100}\)

\((1-\sqrt{10})^{100}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+…-\)\(C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}+C_{100}^{100}\)

Do đó: \((1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}=2 \left ( C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+…+ C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}\right )\)

Vậy nên: \(\sqrt{40}\left [ (1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100} \right ].\)

Leave a Reply